Fiche de révision : Cinématique du point

📋 Plan du Cours

1. Référentiel et vecteur position
2. Vecteur vitesse instantanée
3. Vecteur accélération
4. Détermination graphique des vecteurs
5. Mouvement rectiligne
6. Mouvement circulaire et repère de Frenet

📖 1. Référentiel et vecteur position

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur position : Le vecteur position décrit les coordonnées du point M dans le repère orthonormé par $\overrightarrow{OM}(t)=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}+z(t)\vec{k}$.

★ À maîtriser

• L’étude du mouvement d’un système est ramenée à celle d’un point, généralement son centre de masse, après choix du système et du référentiel.

Compléments

• Les fonctions coordonnées $x(t)$, $y(t)$ et $z(t)$ sont appelées les équations horaires de la position.

📖 2. Vecteur vitesse instantanée

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur vitesse : Le vecteur vitesse instantanée est la dérivée du vecteur position par rapport au temps : $\vec{v}(t)=\frac{d\overrightarrow{OM}(t)}{dt}$.

★ À maîtriser

📌 Le vecteur vitesse instantanée est tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement, et sa norme donne la valeur de la vitesse à l’instant considéré.

📐 Formule - Les coordonnées cartésiennes de la vitesse sont $v_x(t)=\frac{dx(t)}{dt}$, $v_y(t)=\frac{dy(t)}{dt}$ et $v_z(t)=\frac{dz(t)}{dt}$.

Compléments

📐 Formule - La norme de la vitesse vaut $v(t)=\sqrt{v_x(t)^2+v_y(t)^2+v_z(t)^2}$ et s’exprime en $\mathrm{m\,s^{-1}}$.

📖 3. Vecteur accélération

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur accélération : Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps : $\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}(t)}{dt}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Les coordonnées de l’accélération sont $a_x(t)=\frac{dv_x(t)}{dt}$, $a_y(t)=\frac{dv_y(t)}{dt}$ et $a_z(t)=\frac{dv_z(t)}{dt}$.

📌 L’accélération est non nulle si la norme de la vitesse change ou si la direction du vecteur vitesse change, même si la valeur de la vitesse reste constante.

Compléments

📐 Formule - Le vecteur accélération est aussi la dérivée seconde du vecteur position : $\vec{a}(t)=\frac{d^2\overrightarrow{OM}(t)}{dt^2}$.

📐 Formule - La norme de l’accélération vaut $a(t)=\sqrt{a_x(t)^2+a_y(t)^2+a_z(t)^2}$ et s’exprime en $\mathrm{m\,s^{-2}}$.

💡 Astuce mémo

La vitesse change en valeur ou en direction → l’accélération peut être non nulle.

📖 4. Détermination graphique des vecteurs

★ À maîtriser

📌 Le vecteur vitesse construit en M₂ est tangent à la trajectoire, parallèle à la droite M₁M₃ et orienté dans le sens du mouvement.

• La construction graphique de l’accélération en M₂ consiste à construire les vitesses en M₁ et M₃, les reporter en M₂, former $\Delta\vec{v}=\vec{v}_3-\vec{v}_1$, puis diviser ce vecteur par l’intervalle de temps.

Compléments

📐 Formule - Pour des positions relevées à intervalles constants, la vitesse moyenne au point M₂ s’estime par $v_2=\frac{M_1M_3}{t_3-t_1}=\frac{M_1M_3}{2\tau}$, où τ est l’intervalle entre deux points consécutifs.

📐 Formule - L’accélération moyenne au point M₂ s’estime par $\vec{a}(t_2)\approx\frac{\vec{v}_3-\vec{v}_1}{t_3-t_1}=\frac{\Delta\vec{v}}{2\tau}$.

💡 Astuce mémo

Vitesses en M₁ et M₃ → report en M₂ → Δv → accélération.

📖 5. Mouvement rectiligne

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement rectiligne : Un mouvement est rectiligne si sa trajectoire est une droite.

📝 Points essentiels

📌 Un mouvement rectiligne uniforme a une vitesse de valeur constante, tandis qu’un mouvement rectiligne uniformément accéléré ou uniformément ralenti correspond respectivement à une vitesse qui augmente ou qui diminue uniformément.

💡 Astuce mémo

Uniforme : vitesse constante ; accéléré ou ralenti : vitesse change.

📖 6. Mouvement circulaire et repère de Frenet

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère de Frenet : Le repère de Frenet est le repère mobile $R(M;\vec{u_t},\vec{u_n})$, où $\vec{u_t}$ est tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement, et $\vec{u_n}$ est perpendiculaire à $\vec{u_t}$ et orienté vers l’intérieur de la trajectoire.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Dans un mouvement circulaire, la vitesse est tangentielle et s’écrit $\vec{v}(t)=v(t)\vec{u_t}$.

📐 Formule - Dans le repère de Frenet, l’accélération circulaire s’écrit $\vec{a}(t)=\frac{dv}{dt}\vec{u_t}+\frac{v^2}{R}\vec{u_n}$, avec une composante tangentielle $a_t=\frac{dv}{dt}$ et une composante normale $a_n=\frac{v^2}{R}$.

📐 Formule - Dans un mouvement circulaire uniforme, $\frac{dv}{dt}=0$ et l’accélération vaut $\vec{a}(t)=\frac{v^2}{R}\vec{u_n}$.

📌 Dans un mouvement circulaire uniforme, l’accélération est radiale et centripète, donc dirigée vers l’intérieur du cercle.

💡 Astuce mémo

Au centre du cercle, le vecteur normal pointe vers l’intérieur et le vecteur tangent suit la trajectoire.