Fiche de révision : Modélisation des mécanismes

📋 Plan du Cours

1. Solides indéformables et modélisation
2. Contacts et repères mécaniques
3. Degrés de liberté des solides
4. Liaisons normalisées
5. Classes et graphes de liaisons
6. Schéma cinématique
7. Modélisation des mouvements plans
8. Paramétrage du mécanisme
9. Loi entrée-sortie géométrique
10. Vecteurs et projections

📖 1. Solides indéformables et modélisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Solide indéformable : Ensemble de points dont la distance entre deux points quelconques ne varie pas au cours du temps.

📝 Points essentiels

• La modélisation propose une représentation simplifiée de la réalité afin de ne conserver que les propriétés indispensables à l’étude considérée.

• Le cours étudie les éléments mécaniques en supposant qu’ils ne se déforment pas.

💡 Astuce mémo

Solide indéformable ≠ solide déformable : les distances internes restent constantes.

📖 2. Contacts et repères mécaniques

🔑 Notions clés & Définitions

• Liaison entre solides : Relation de contact entre ces deux solides, caractérisée par la géométrie du contact et les mouvements relatifs autorisés.
• Repère : Constitué d’une origine et d’une base orthonormée composée de trois axes.

★ À maîtriser

📌 Un contact ponctuel correspond à une intersection géométrique réduite à un point, un contact linéique à une ligne et un contact surfacique à une surface commune.

Compléments

• Les coordonnées cartésiennes décrivent un point par (x, y, z), les coordonnées cylindriques par (r, θ, z) et les coordonnées sphériques par (r, φ, θ).

📖 3. Degrés de liberté des solides

🔑 Notions clés & Définitions

• Degrés de liberté : Mouvements relatifs indépendants qu’un solide peut effectuer par rapport à un autre sans changer la nature du contact.
• Mécanisme : Ensemble de solides reliés entre eux par des liaisons.

📝 Points essentiels

• Un solide possède au maximum 6 degrés de liberté dans l’espace : 3 translations selon x, y et z, ainsi que 3 rotations autour de x, y et z.

📌 Une liaison possède entre 0 et 6 degrés de liberté ; avec 0 degré de liberté elle est un encastrement, et avec 6 degrés de liberté elle est libre.

💡 Astuce mémo

6 mouvements : 3 translations et 3 rotations.

📖 4. Liaisons normalisées

★ À maîtriser

• Les liaisons normalisées sont considérées comme géométriquement parfaites : les solides sont indéformables, les surfaces sont parfaites, les jeux sont nuls et la nature du contact reste constante.

📌 La liaison pivot autorise une rotation autour d’un axe, tandis que la liaison glissière autorise une translation selon une direction.

• Les liaisons normalisées ont les mobilités suivantes : encastrement 0 ddl, glissière 1, pivot 1, hélicoïdale 1, pivot glissant 2, appui plan 3, sphérique 3, sphère-cylindre 4, sphère-plan 5, sphérique à doigt 2 et linéaire rectiligne 4.

Compléments

• Les contacts élémentaires sont:
  • plan-sphère
  • plan-cylindre
  • plan-plan
  • cylindre-sphère
  • cylindre-cylindre
  • sphère-sphère

💡 Astuce mémo

Encastrement : 0 ddl ; liaison libre : 6 ddl.

📖 5. Classes et graphes de liaisons

🔑 Notions clés & Définitions

• Classe d’équivalence cinématique : Ensemble de pièces sans mouvement relatif entre elles, liées complètement par des encastrements.
• Graphe de liaisons : Représente les classes d’équivalence par des cercles et les liaisons entre elles par des arcs caractérisés.

★ À maîtriser

📌 Une chaîne ouverte associe les solides et les liaisons en série, une chaîne fermée simple forme une boucle unique et une chaîne complexe comporte plusieurs boucles.

Compléments

📌 Les ressorts, amortisseurs et éléments roulants des roulements ne sont pas pris en compte comme pièces des classes d’équivalence étudiées.

💡 Astuce mémo

Pièces → classes d’équivalence → liaisons → graphe.

📖 6. Schéma cinématique

🔑 Notions clés & Définitions

• Schéma cinématique : Représentation plane ou spatiale du graphe des liaisons au moyen des symboles normalisés, destinée à comprendre et étudier le mécanisme.

★ À maîtriser

• La construction d’un schéma cinématique consiste à choisir la représentation, colorier les classes, positionner les points et axes, placer les symboles des liaisons puis relier les classes.

Compléments

• Lorsque plusieurs liaisons peuvent être regroupées en une liaison équivalente, le schéma obtenu est un schéma cinématique minimal.

💡 Astuce mémo

Choisir, positionner, symboliser, relier.

📖 7. Modélisation des mouvements plans

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement plan : Lorsqu’un plan lié au premier reste coïncident avec un plan lié au second pendant le mouvement.

★ À maîtriser

• Un mouvement plan nécessite 3 paramètres : 2 translations dans le plan et 1 rotation autour d’un axe perpendiculaire au plan.

📌 En modélisation plane, la glissière représente une translation, le pivot une rotation et la liaison sphère-plan une translation dans le plan combinée à une rotation perpendiculaire au plan.

Compléments

📌 En modélisation plane, les symboles de liaisons décrivent les mouvements relatifs dans le plan et non la géométrie réelle des contacts.

💡 Astuce mémo

Plan : 2 translations + 1 rotation.

📖 8. Paramétrage du mécanisme

★ À maîtriser

• Le paramétrage associe un repère à chaque solide, définit les distances entre les points particuliers et attribue à chaque liaison autant de paramètres que de degrés de liberté.

Compléments

• Une liaison pivot est décrite par un paramètre angulaire, tandis qu’une liaison glissière est décrite par un paramètre de distance.

📌 Pour chaque angle introduit dans le paramétrage, une figure plane ou géométrale est utilisée afin de réaliser correctement les projections.

📖 9. Loi entrée-sortie géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi entrée-sortie : Relation, souvent non linéaire, reliant un paramètre de sortie à un ou plusieurs paramètres d’entrée et aux paramètres géométriques constants des solides.

★ À maîtriser

📌 La fermeture angulaire utilise les vecteurs de base, tandis que la fermeture linéaire utilise les vecteurs reliant les points caractéristiques des solides.

• Pour obtenir une loi entrée-sortie, on projette la fermeture géométrique, on isole les termes utiles, on élimine éventuellement les angles par une relation trigonométrique et on ne conserve que les solutions physiquement acceptables.

Compléments

📐 Formule — La relation trigonométrique utilisée pour éliminer un angle est $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$.

💡 Astuce mémo

Fermer la chaîne → projeter → isoler → retenir la solution physique.

📖 10. Vecteurs et projections

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Ensemble des bipoints équipollents à un bipoint, caractérisé par un support, un sens et une norme.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans une base orthonormée, un vecteur se décompose selon $\vec V = V_x\vec x + V_y\vec y + V_z\vec z$.

📐 Formule — Le produit scalaire de deux vecteurs vérifie $\vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v)$ et, dans une base orthonormée, $\vec u\cdot\vec v = u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z$.

Compléments

📐 Formule — La projection vectorielle de $\vec V$ sur une droite de vecteur directeur unitaire $\vec u$ est $\vec p=(\vec V\cdot\vec u)\vec u$.

📐 Formule — Lors d’un changement de base par rotation plane d’angle θ, les projections vérifient $\vec x_2=\cos\theta\,\vec x_1+\sin\theta\,\vec y_1$ et $\vec y_2=\cos\theta\,\vec y_1-\sin\theta\,\vec x_1$.

📊 Tableaux de synthèse

Principales liaisons et mobilités