Fiche de révision : Nombres réels et puissances

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres
2. Intervalles et inégalités
3. Valeur absolue et distance
4. Puissances et écriture scientifique

📖 1. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Comprennent notamment 0, 4 et 125.
• Entiers relatifs : Regroupent les entiers positifs, négatifs et nuls, comme −7, 0 et 12.
• Nombres décimaux : Ont une écriture décimale finie, comme 2,5, −0,04 et 7.
• Nombres rationnels : S'écrivent sous la forme $\frac{a}{b}$ avec a ∈ Z et b ∈ Z* non nul.
• Nombres réels : Regroupent tous les nombres rationnels et irrationnels, comme √2, π et −3,1.

📝 Points essentiels

📌 Les ensembles de nombres sont inclus selon la chaîne N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ; ainsi, −3 ∈ Z implique −3 ∈ D, −3 ∈ Q et −3 ∈ R.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R : du plus petit au plus vaste

📖 2. Intervalles et inégalités

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Décrit un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes, éventuellement avec une borne infinie.
• Intersection : Ensemble des éléments communs à A et B.
• Réunion : Ensemble des éléments appartenant à A ou à B.

📝 Points essentiels

• Les correspondances principales sont:
  • a ≤ x ≤ b ⇔ x ∈ [a; b]
  • a < x < b ⇔ x ∈ ]a; b[
  • a ≤ x < b ⇔ x ∈ [a; b[
  • x ≥ a ⇔ x ∈ [a; +∞[
  • x < a ⇔ x ∈ ]−∞; a[

📌 Les symboles +∞ et −∞ ne sont jamais inclus dans un intervalle, donc le crochet est toujours ouvert du côté de l'infini.

💡 Astuce mémo

Borne autorisée : crochet fermé ; borne exclue : crochet ouvert

📖 3. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La valeur absolue de x est sa distance à 0 et vérifie |x| = x si x ≥ 0 et |x| = −x si x < 0.

★ À maîtriser

📌 La valeur absolue est toujours positive ou nulle : |x| ≥ 0 ; en particulier, |−5| = 5 et |3| = 3.

📐 Formule — La distance entre deux réels a et b est $|a-b|$ ; par exemple, la distance entre −2 et 5 vaut $|-2-5|=7$.

📌 Pour r ≥ 0, |x − a| ≤ r équivaut à x ∈ [a − r; a + r], tandis que |x − a| < r équivaut à x ∈ ]a − r; a + r[.

📌 Pour a > 0, l'équation |x| = a possède deux solutions : x = a et x = −a.

Compléments

• L'inégalité |x − 3| ≤ 2 équivaut à l'intervalle x ∈ [1; 5].

💡 Astuce mémo

La valeur absolue mesure le chemin entre un nombre et 0

📖 4. Puissances et écriture scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture scientifique : L'écriture scientifique d'un nombre est a × 10^n avec 1 ≤ |a| < 10 et n ∈ Z.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour a ≠ 0 et des entiers m et n, les règles de puissances sont $a^m\times a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $(a^m)^n=a^{mn}$ et $(ab)^n=a^n b^n$.

📐 Formule — Pour a ≠ 0, on a $a^0=1$, $a^1=a$ et $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

📌 Si a < 0, une puissance d'exposant pair est positive, tandis qu'une puissance d'exposant impair est négative.

📌 −2^2 signifie −(2^2) = −4, tandis que (−2)^2 = 4, car les parenthèses incluent ou non le signe dans la base.

Compléments

• On a (−3)^4 = 81, tandis que (−3)^3 = −27.

• Le nombre 0,00045 s'écrit en notation scientifique 4,5 × 10^−4.

📌 En général, (a + b)^2 n'est pas égal à a^2 + b^2.

💡 Astuce mémo

Exposant pair : signe positif ; exposant impair : signe négatif pour une base négative

📊 Tableaux de synthèse

Ensembles de nombres