Fiche de révision : Mécanique des fluides

📋 Plan du Cours

1. Grandeurs fondamentales des fluides
2. Propriétés physiques des fluides
3. Écoulement parfait et Bernoulli
4. Équilibre et hydrostatique
5. Poussée d’Archimède
6. Cinématique et conservation
7. Dynamique des fluides parfaits
8. Viscosité et régimes d’écoulement
9. Loi de Poiseuille et vaisseaux

📖 1. Grandeurs fondamentales des fluides

🔑 Notions clés & Définitions

• Masse volumique : Rapport de la masse m d’un fluide sur son volume V, soit $ρ = \frac{m}{V}$, et elle s’exprime en kg·m⁻³.
• Pression : Mesure l’action mécanique exercée par un fluide sur une surface et vérifie $P = \frac{F}{S}$, avec P en pascals, F en newtons et S en mètres carrés.

📝 Points essentiels

• La masse volumique de l’eau vaut 1000 kg·m⁻³.

📐 Formule — À température constante et pour une quantité de gaz donnée, la loi de Mariotte s’écrit $P \times V = \text{constante}$.

📖 2. Propriétés physiques des fluides

🔑 Notions clés & Définitions

• Fluide : Milieu extrêmement déformable dont les constituants sont en mouvement incessant et désordonné, comme un liquide ou un gaz.
• Viscosité dynamique : Mesure la résistance d’un fluide au cisaillement selon $\frac{dF}{dS} = \mu{} \frac{dv}{dy}$ et s’exprime en Pa·s.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La loi de Jurin donne la hauteur h d’ascension capillaire par $h = \frac{2γ\cos(θ)}{ρrg}$.

💡 Astuce mémo

Microscopique discontinu, mésoscopique continu, macroscopique continu.

📖 3. Écoulement parfait et Bernoulli

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le débit volumique vérifie $Q_v = \frac{V}{\Delta t} = S v$.

📐 Formule — Pour un fluide incompressible entre deux sections, la conservation du débit s’écrit $Q_v = S_1v_1 = S_2v_2$.

📐 Formule — La relation de Bernoulli pour un fluide parfait en écoulement permanent s’écrit $\frac{1}{2}ρv^2 + ρgz + P = \text{constante}$.

💡 Astuce mémo

Section plus petite → vitesse plus grande.

📖 4. Équilibre et hydrostatique

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’équilibre d’une particule de fluide soumise à la pression et à la pesanteur vérifie $-\vec{\nabla}p + ρ\vec{g} = \vec{0}$.

📐 Formule — Pour une masse volumique constante, l’équation fondamentale de l’hydrostatique s’écrit $P + ρgz = \text{constante}$.

📐 Formule — Dans des vases communicants contenant deux liquides non miscibles ouverts à la même pression atmosphérique, les hauteurs vérifient $ρ_1h_1 = ρ_2h_2$.

💡 Astuce mémo

Altitude plus faible → pression plus élevée.

📖 5. Poussée d’Archimède

🔑 Notions clés & Définitions

• Poussée d’Archimède : Force verticale dirigée vers le haut, exercée par un fluide sur un corps immergé, dont l’intensité égale le poids du fluide déplacé.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La norme de la poussée d’Archimède vaut $A = ρ_LgV$, où V est le volume de fluide déplacé.

📌 Un solide coule si ρsolide > ρfluide, remonte si ρsolide < ρfluide et reste en équilibre si ρsolide = ρfluide.

💡 Astuce mémo

ρsolide > ρfluide : coule ; ρsolide < ρfluide : remonte.

📖 6. Cinématique et conservation

🔑 Notions clés & Définitions

• Ligne de courant : Courbe tangente aux vecteurs vitesse du champ d’écoulement.
• Écoulement permanent : Écoulement dont le champ des vitesses ne dépend pas du temps.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La conservation du débit massique dans un écoulement permanent vérifie $Q_m = ρS_1V_1 = ρS_2V_2$.

💡 Astuce mémo

Champ de vitesses → lignes de courant → tube de courant.

📖 7. Dynamique des fluides parfaits

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’équation d’Euler d’un fluide parfait s’écrit $-\vec{\nabla}p + ρ\vec{g} = ρ\vec{Γ}$.

📐 Formule — Le théorème de Bernoulli relie la pression, l’altitude et la vitesse par $\frac{1}{2}ρC^2 + ρgz + p = \text{constante}$ dans un écoulement permanent de fluide parfait.

📐 Formule — La formule de Torricelli donne la vitesse de sortie d’un réservoir par $C_B = \sqrt{2gh}$ lorsque la surface du réservoir est très grande devant celle de l’orifice.

📖 8. Viscosité et régimes d’écoulement

🔑 Notions clés & Définitions

• Écoulement laminaire : Régime où les particules de fluide suivent un mouvement organisé avec des vitesses variables selon la position dans la section.

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’équation de Navier-Stokes s’écrit $-\vec{\nabla}p + ρ\vec{g} + \mu{}\Delta\vec{v} = ρ\vec{Γ}$.

📐 Formule — Le nombre de Reynolds est $Re = \frac{ρCD}{\mu{}} = \frac{CD}{ν}$, avec D le diamètre de la conduite.

📌 Le régime est laminaire pour Re < 2000 et turbulent pour Re > 4000.

💡 Astuce mémo

Re < 2000 laminaire, Re > 4000 turbulent.

📖 9. Loi de Poiseuille et vaisseaux

📝 Points essentiels

📐 Formule — La loi de Poiseuille relie la perte de pression au débit volumique par $\Delta p = \frac{8\mu{}L}{πR^4}Q_v$.

📐 Formule — La loi de Poiseuille peut aussi s’écrire $Q_v = \frac{\Delta p\,πR^4}{8\mu{}L}$.

💡 Astuce mémo

Rayon plus grand → débit plus grand à pression égale.

📊 Tableaux de synthèse

Régimes d’écoulement