Fiche de révision : Maîtriser les puissances

📋 Plan du Cours

1. Définition et cas particuliers
2. Règles de calcul des puissances
3. Signes et parenthèses
4. Puissances de dix et notation scientifique
5. Simplification et erreurs fréquentes

📖 1. Définition et cas particuliers

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Permet d’écrire plus simplement une multiplication répétée : $a^n = a \times a \times \cdots \times a$ avec n facteurs, où a est la base et n l’exposant.

★ À maîtriser

📌 Pour a ≠ 0, $a^1=a$, $a^0=1$ et $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

Compléments

• Par exemple, $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$, ce qui se lit « trois puissance quatre ».

• Par exemple, $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$.

📖 2. Règles de calcul des puissances

★ À maîtriser

📐 Formule — Le produit de puissances de même base vérifie $a^m \times a^n=a^{m+n}$.

📐 Formule — Le quotient de puissances de même base vérifie $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

📐 Formule — Une puissance d’une puissance vérifie $(a^m)^n=a^{m\times n}$.

Compléments

📐 Formule — La puissance d’un produit vérifie $(ab)^n=a^n \times b^n$.

📐 Formule — Pour b ≠ 0, la puissance d’un quotient vérifie $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

💡 Astuce mémo

Même base : multiplier additionne, diviser soustrait ; puissance d’une puissance multiplie.

📖 3. Signes et parenthèses

★ À maîtriser

📌 Une base négative élevée à une puissance paire donne un résultat positif, tandis qu’une puissance impaire donne un résultat négatif.

📌 $(-3)^2=9$, tandis que $-3^2=-9$, car $-3^2$ signifie $-(3^2)$.

Compléments

• Par exemple, $(-2)^4=16$ et $(-2)^3=-8$.

💡 Astuce mémo

(-3)² élève -3 et donne 9, tandis que -3² signifie -(3²) et donne -9.

📖 4. Puissances de dix et notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation scientifique : Écrit un nombre sous la forme $a \times 10^n$ avec $1 \leq |a| < 10$.

★ À maîtriser

📌 Pour un exposant positif, $10^n$ s’écrit comme 1 suivi de n zéros.

📌 Pour un exposant négatif, $10^{-n}=\frac{1}{10^n}$.

• Multiplier un nombre par $10^n$ déplace la virgule de n rangs vers la droite, tandis que multiplier par $10^{-n}$ la déplace de n rangs vers la gauche.

Compléments

• En notation scientifique, $450000=4{,}5\times10^5$ et $0{,}00032=3{,}2\times10^{-4}$.

💡 Astuce mémo

La virgule glisse à droite avec 10ⁿ et à gauche avec 10⁻ⁿ.

📖 5. Simplification et erreurs fréquentes

★ À maîtriser

• Pour simplifier une expression, il faut regrouper les puissances de même base, puis additionner ou soustraire leurs exposants selon les opérations.

📌 On ne peut pas appliquer les règles des puissances à une addition : $a^m+a^n\neq a^{m+n}$.

Compléments

• L’expression $A=\frac{2^5\times2^3}{2^4}$ se simplifie en $A=2^{5+3-4}=2^4=16$.

• L’expression $B=(3^2)^4\times3^{-3}$ se simplifie en $B=3^{2\times4-3}=3^5$.

• Par exemple, $2^2+2^3=4+8=12$, alors que $2^{2+3}=2^5=32$.

💡 Astuce mémo

La multiplication de puissances se simplifie, contrairement à leur addition.

📊 Tableaux de synthèse

Règles selon l’opération