Fiche de révision : Multiples, diviseurs et nombres premiers

📋 Plan du Cours

1. Division euclidienne et divisibilité
2. Nombres premiers et critères
3. Recherche des diviseurs
4. Décomposition en facteurs

📖 1. Division euclidienne et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur : entier b est un diviseur d’un entier a si le reste de la division euclidienne de a par b est égal à 0, ce qui signifie qu’il existe un entier k tel que a = b × k.

★ À maîtriser

📐 Formule — La division euclidienne s’écrit $a = b \times q + r$ avec $0 \leq r < b$.

• Comme $325 = 13 \times 25 + 0$, 13 et 25 sont des diviseurs de 325, et 325 est un multiple de 13 et de 25.

Compléments

• Dans la division euclidienne de 126 par 5, on obtient $126 = 5 \times 25 + 1$, donc le reste est 1.

💡 Astuce mémo

Dividende = diviseur × quotient + reste

📖 2. Nombres premiers et critères

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : nombre qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

• 0 n’est pas un nombre premier car il admet une infinité de diviseurs, et 1 n’est pas un nombre premier car il admet un seul diviseur.

• 2 est le seul nombre premier pair.

Compléments

• Il existe 25 nombres premiers inférieurs à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

• Il existe une infinité de nombres premiers.

💡 Astuce mémo

Premier : exactement deux diviseurs ; 0 et 1 : exclus

📖 3. Recherche des diviseurs

📝 Points essentiels

• Pour trouver tous les diviseurs de 60, on calcule d’abord $\sqrt{60} \approx 7{,}7$, puis on teste les divisions par 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7, avant de retenir les diviseurs et leurs associés.

• Les diviseurs de 60 sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60.

📌 Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8, par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5, par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3, et par 10 si son chiffre des unités est 0.

💡 Astuce mémo

Racine carrée → tests → liste des diviseurs

📖 4. Décomposition en facteurs

★ À maîtriser

• La décomposition donnée de 504 en facteurs est $504 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7 = 2^3 \times 3^2 \times 7$.

Compléments

📌 Le cours indique que tout nombre entier peut s’écrire comme la somme de plusieurs facteurs et que cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.

💡 Astuce mémo

504 → 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7

📊 Tableaux de synthèse

Critères de divisibilité