Fiche de révision : Multiplication et division

📋 Plan du Cours

1. Division euclidienne et quotients
2. Diviser avec des nombres décimaux
3. Multiples et diviseurs
4. Critères de divisibilité
5. Problèmes de partage et groupement
6. Applications aux grandeurs

📖 1. Division euclidienne et quotients

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : S’écrit dividende = diviseur × quotient entier + reste, avec un reste inférieur au diviseur.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans une division euclidienne, $D = d \times q + r$ avec $0 \leq r < d$.

• Pour résoudre une division euclidienne, on cherche le plus grand produit du diviseur par un entier qui ne dépasse pas le dividende, puis on calcule le reste par soustraction.

Compléments

📌 Dans l’égalité $116 = 16 \times 7 + 4$, le quotient et le reste de la division de 116 par 16 sont respectivement 7 et 4, tandis que ceux de la division de 116 par 7 sont respectivement 16 et 4.

💡 Astuce mémo

Le quotient compte les groupes complets, le reste compte ce qui reste.

📖 2. Diviser avec des nombres décimaux

★ À maîtriser

📌 Pour diviser par un nombre décimal, on peut multiplier le dividende et le diviseur par une même puissance de 10 afin de rendre le diviseur entier.

📐 Formule — Pour simplifier une division décimale, on utilise l’égalité $a \div b = (a \times 10^n) \div (b \times 10^n)$.

Compléments

• Le quotient $4{,}8 \div 0{,}8$ peut être transformé en $48 \div 8$ en multipliant le dividende et le diviseur par 10.

• Les calculs $6{,}5 \div 0{,}65$ et $48 \div 0{,}24$ se ramènent respectivement à $650 \div 65$ et $4800 \div 24$.

💡 Astuce mémo

Multiplier le dividende et le diviseur par le même nombre, puis diviser.

📖 3. Multiples et diviseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple : Résultat obtenu en multipliant ce nombre par un entier.
• Diviseur : Nombre qui le divise exactement, sans reste.

★ À maîtriser

📌 Si un nombre A est un multiple de B, alors B est un diviseur de A, et A est divisible par B.

• Pour trouver les diviseurs communs de 18 et 24, on écrit les diviseurs de chaque nombre puis on retient ceux qui apparaissent dans les deux listes.

Compléments

• Le nombre 1 est à la fois un multiple et un diviseur de 25.

💡 Astuce mémo

Le multiple est obtenu par multiplication, le diviseur partage exactement.

📖 4. Critères de divisibilité

★ À maîtriser

📌 Un nombre est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

📌 Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Compléments

• Pour compléter un chiffre afin qu’un nombre soit divisible par 2, 3 ou 9, on teste respectivement le chiffre des unités ou la somme des chiffres selon le critère utilisé.

💡 Astuce mémo

2 : chiffre final ; 3 et 9 : somme des chiffres.

📖 5. Problèmes de partage et groupement

★ À maîtriser

📌 Dans un problème de groupement, une division avec reste conduit souvent à arrondir le quotient entier vers le nombre supérieur lorsque tous les éléments doivent être pris en charge.

📌 Pour composer des groupes identiques en utilisant tous les objets, le nombre de groupes doit être un diviseur commun des quantités disponibles.

Compléments

• Avec 30 roses et 24 tulipes, 2 bouquets identiques sont possibles avec 15 roses et 12 tulipes par bouquet, tandis que 5 bouquets identiques ne sont pas possibles car 24 n’est pas divisible par 5.

📌 Pour remplir des boîtes ou des contenants de capacité fixe, le nombre manquant correspond au complément du reste jusqu’au prochain multiple de la capacité.

• Pour répartir 2 L de boisson dans des verres de 0,2 L, on calcule $2 \div 0{,}2 = 10$ et il faut donc 10 verres.

💡 Astuce mémo

Partager cherche le nombre dans chaque groupe, regrouper cherche le nombre de groupes.

📖 6. Applications aux grandeurs

★ À maîtriser

📐 Formule — L’aire d’un rectangle se calcule avec la formule $A = L \times l$.

📐 Formule — La vitesse se calcule avec la formule $v = \frac{d}{t}$, où d est la distance et t la durée.

Compléments

• Une distance de 7,5 km parcourue en 1 h 30 min correspond à une vitesse de 5 km/h, car 1 h 30 min vaut 1,5 h et $7{,}5 \div 1{,}5 = 5$.

📐 Formule — La masse exacte d’une assiette identique se calcule en divisant la masse totale par le nombre d’assiettes : $m = \frac{M}{n}$.

• Si 12 assiettes identiques ont une masse totale de 2,94 kg, la masse d’une assiette est $2{,}94 \div 12 = 0{,}245$ kg.

📌 Pour vérifier si une somme suffit à un achat, on compare le prix total à la somme disponible, éventuellement en regroupant mentalement les montants.

📊 Tableaux de synthèse

Sens des résultats d’une division