QCM : Nombres complexes et géométrie — 31 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la forme algébrique unique d’un nombre complexe dont la partie réelle vaut 3 et la partie imaginaire vaut -2 ?

3−2i3-2i
−3−2i-3-2i
−2+3i-2+3i
3+2i3+2i

$$3-2i$$

Explication

La forme algébrique s’écrit a+iba+ib, avec aa égal à la partie réelle et bb égal au coefficient de ii. L’écriture −2+3i-2+3i intervertit ces deux rôles et ne représente donc pas le même nombre.

2. Si z=2−3iz=2-3i et z′=4+iz'=4+i, quelle est la valeur de zz′zz' ?

11−10i11-10i
11+10i11+10i
5−10i5-10i
8−12i8-12i

$$11-10i$$

Explication

La formule du produit donne zz′=(ac−bd)+i(ad+bc)zz'=(ac-bd)+i(ad+bc), donc zz′=8−(−3)+i(2+(−12))=11−10izz'=8-(-3)+i(2+(-12))=11-10i. La réponse 5−10i5-10i provient d’une erreur de signe dans la partie réelle.

3. Quel nombre complexe est imaginaire pur mais n’est pas réel ?

00
44
4i4i
4+4i4+4i

$$4i$$

Explication

Un nombre complexe est imaginaire pur lorsque sa partie réelle est nulle ; 4i4i vérifie cette condition et possède une partie imaginaire non nulle. Le nombre 00 est à la fois réel et imaginaire pur, tandis que 44 est réel.

4. Dans un plan orthonormé direct, quel point possède pour affixe le complexe −3+2i-3+2i ?

Le point de coordonnées (3,2)(3,2)
Le point de coordonnées (−3,−2)(-3,-2)
Le point de coordonnées (2,−3)(2,-3)
Le point de coordonnées (−3,2)(-3,2)

Le point de coordonnées $$(-3,2)$$

Explication

Pour z=a+ibz=a+ib, l’affixe correspond au point de coordonnées (a,b)(a,b). Ainsi, −3+2i-3+2i est associé au point (−3,2)(-3,2) ; l’échange des coordonnées ne respecte pas cette correspondance.

5. Dans le plan complexe, que représente géométriquement l’affixe z=a+ibz=a+ib ?

Le point M(a,b)M(a,b) et le vecteur OM→\overrightarrow{OM}
Le point M(a,−b)M(a,-b) et le vecteur MO→\overrightarrow{MO}
Le point M(b,a)M(b,a) et le vecteur MO→\overrightarrow{MO}
Le point M(−a,b)M(-a,b) et le vecteur OM→\overrightarrow{OM}

Le point $$M(a,b)$$ et le vecteur $$\overrightarrow{OM}$$

Explication

L’affixe a+iba+ib est associée au point M(a,b)M(a,b) ainsi qu’au vecteur OM→\overrightarrow{OM}. Le vecteur MO→\overrightarrow{MO} aurait la direction opposée et ne correspondrait donc pas à cette affixe.

6. Quel est le conjugué du nombre complexe z=5−7iz=5-7i ?

−5+7i-5+7i
5+7i5+7i
7−5i7-5i
−5−7i-5-7i

$$5+7i$$

Explication

Le conjugué de x+iyx+iy est x−iyx-iy : la partie réelle reste inchangée et le signe de la partie imaginaire est inversé. La réponse −5+7i-5+7i modifierait à tort la partie réelle.

7. Si z=2+3iz=2+3i et z′=1−2iz'=1-2i, quelle égalité décrit correctement le conjugué du produit zz′zz' ?

zz′‾=zˉ−zˉ′\overline{zz'}=\bar z-\bar z'
zz′‾=zˉ+zˉ′\overline{zz'}=\bar z+\bar z'
zz′‾=zˉ zˉ′\overline{zz'}=\bar z\,\bar z'
zz′‾=z z′\overline{zz'}=z\,z'

$$\overline{zz'}=\bar z\,\bar z'$$

Explication

Le conjugué d’un produit est le produit des conjugués, donc zz′‾=zˉ zˉ′\overline{zz'}=\bar z\,\bar z'. La somme des conjugués est la règle correspondant au conjugué d’une somme, pas à celui d’un produit.

8. Pour un complexe z=a+ibz=a+ib, quelle expression représente son module ?

a2+b2\sqrt{a^2+b^2}
a2−b2\sqrt{a^2-b^2}
a2+b2a^2+b^2
a+ba+b

$$\sqrt{a^2+b^2}$$

Explication

Le module mesure la longueur associée au complexe et se calcule par ∣z∣=a2+b2|z|=\sqrt{a^2+b^2}. L’expression a2+b2a^2+b^2 est le carré du module, tandis que les deux autres formules ne donnent pas cette longueur.

9. Pour quel complexe non nul zz a-t-on simultanément ∣z∣=1|z|=1 et 1z=z‾\frac{1}{z}=\overline z ?

Pour tout complexe dont le module vaut 00
Pour tout complexe dont la partie imaginaire vaut 11
Pour tout complexe de module égal à 11
Pour tout complexe dont la partie réelle vaut 11

Pour tout complexe de module égal à $$1$$

Explication

Un complexe non nul vérifie ∣z∣=1|z|=1 si et seulement si son inverse est son conjugué. Une partie réelle ou imaginaire égale à 11 ne suffit pas à imposer cette propriété.

10. Si ∣z1∣=3|z_1|=3 et ∣z2∣=5|z_2|=5, quelles bornes encadrent nécessairement ∣z1+z2∣|z_1+z_2| ?

3≤∣z1+z2∣≤53\leq |z_1+z_2|\leq 5
8≤∣z1+z2∣≤158\leq |z_1+z_2|\leq 15
0≤∣z1+z2∣≤150\leq |z_1+z_2|\leq 15
2≤∣z1+z2∣≤82\leq |z_1+z_2|\leq 8

$$2\leq |z_1+z_2|\leq 8$$

Explication

L’inégalité triangulaire donne ∣∣z1∣−∣z2∣∣≤∣z1+z2∣≤∣z1∣+∣z2∣\left||z_1|-|z_2|\right|\leq|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|, soit 2≤∣z1+z2∣≤82\leq|z_1+z_2|\leq8. Le produit des modules concerne ∣z1z2∣|z_1z_2| et ne fournit pas cet encadrement.

11. Pour z=a+ibz=a+ib non nul, quelle condition caractérise un argument θ\theta de zz ?

cos⁡θ=aa2+b2\cos\theta=a\sqrt{a^2+b^2} et sin⁡θ=ba2+b2\sin\theta=b\sqrt{a^2+b^2}
cos⁡θ=ba2+b2\cos\theta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} et sin⁡θ=aa2+b2\sin\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}
cos⁡θ=aa2+b2\cos\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} et sin⁡θ=ba2+b2\sin\theta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}
cos⁡θ=aa2+b2\cos\theta=\frac{a}{a^2+b^2} et sin⁡θ=ba2+b2\sin\theta=\frac{b}{a^2+b^2}

$$\cos\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ et $$\sin\theta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Explication

Les coordonnées normalisées du complexe donnent le cosinus et le sinus d’un argument selon les deux rapports indiqués. Intervertir aa et bb ou modifier le dénominateur ne décrit pas correctement la direction de zz.

12. Un complexe non nul de module rr et d’argument θ\theta s’écrit sous quelle forme exponentielle ?

rθeir^\theta e^i
reiθre^{i\theta}
r+eiθr+e^{i\theta}
eirθe^{ir\theta}

$$re^{i\theta}$$

Explication

La forme exponentielle d’un complexe de module rr et d’argument θ\theta est z=reiθz=re^{i\theta}. La forme r(cos⁡θ+isin⁡θ)r(\cos\theta+i\sin\theta) est la forme trigonométrique correspondante, mais les autres expressions ne séparent pas correctement module et argument.

13. Quelle identité d’Euler exprime correctement sin⁡θ\sin\theta à l’aide des exponentielles complexes ?

sin⁡θ=eiθ+e−iθ2\sin\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}
sin⁡θ=eiθ+e−iθ2i\sin\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2i}
sin⁡θ=eiθ−e−iθ2\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2}
sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}

$$\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$$

Explication

La formule d’Euler donne sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}. La somme des deux exponentielles correspond à cos⁡θ\cos\theta, et le facteur 2i2i est nécessaire pour obtenir le sinus.

14. Que devient le produit eiθeiθ′e^{i\theta}e^{i\theta'} ?

ei(θ+θ′)/2e^{i(\theta+\theta')/2}
eiθθ′e^{i\theta\theta'}
ei(θ+θ′)e^{i(\theta+\theta')}
ei(θ−θ′)e^{i(\theta-\theta')}

$$e^{i(\theta+\theta')}$$

Explication

Le produit de deux exponentielles complexes additionne leurs arguments, d’où ei(θ+θ′)e^{i(\theta+\theta')}. La soustraction des arguments intervient dans le quotient, et non dans le produit.

15. Quelle identité correspond à la formule de Moivre pour un entier nn ?

cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)=(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))n\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)=(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))^n
cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)=n(cos⁡θ+isin⁡θ)\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)=n(\cos\theta+i\sin\theta)
cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)=(cos⁡θ+isin⁡θ)n\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)=(\cos\theta+i\sin\theta)^n
cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)=(cos⁡θ)n+i(sin⁡θ)n\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)=(\cos\theta)^n+i(\sin\theta)^n

$$\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)=(\cos\theta+i\sin\theta)^n$$

Explication

La formule de Moivre relie la puissance d’un nombre complexe trigonométrique à la multiplication de son argument par nn. Elle ne consiste ni à multiplier directement l’expression par nn ni à élever séparément le cosinus et le sinus à la puissance nn.

16. Quelle expression correspond à la formule du binôme pour un entier naturel nn ?

∑k=0n(nk)akbn−k\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}
∑k=0n(nk)an−kbn+k\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{n+k}
∑k=1n(kn)akbn−k\sum_{k=1}^{n}\binom{k}{n}a^kb^{n-k}
∑k=0n(nk)akbk−n\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{k-n}

$$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$$

Explication

La formule du binôme associe à chaque terme le coefficient (nk)\binom{n}{k}, les puissances aka^k et bn−kb^{n-k}. Les autres expressions modifient les exposants ou les coefficients et ne développent donc pas correctement (a+b)n\left(a+b\right)^n.

17. Quelle démarche permet de linéariser une puissance de cos⁡(x)\cos(x) ?

Remplacer cos⁡(x)\cos(x) par sa formule d’Euler, développer avec le binôme, puis prendre la partie réelle
Remplacer cos⁡(x)\cos(x) par sa primitive, développer avec une série, puis prendre le conjugué
Remplacer cos⁡(x)\cos(x) par sa dérivée, factoriser l’expression, puis prendre la partie imaginaire
Remplacer cos⁡(x)\cos(x) par sa forme polaire, appliquer le discriminant, puis prendre le module

Remplacer $$\cos(x)$$ par sa formule d’Euler, développer avec le binôme, puis prendre la partie réelle

Explication

La linéarisation utilise la formule d’Euler pour transformer le cosinus en expression exponentielle, puis le développement binomial et l’extraction de la partie réelle. La dérivation, le discriminant ou la primitive ne constituent pas les étapes de cette méthode.

18. Comment définit-on une racine carrée complexe d’un nombre zz ?

Un complexe ZZ tel que Z+z=0Z+z=0
Un complexe ZZ tel que 2Z=z2Z=z
Un complexe ZZ tel que Z2=zZ^2=z
Un complexe ZZ tel que ∣Z∣2=z|Z|^2=z

Un complexe $$Z$$ tel que $$Z^2=z$$

Explication

Par définition, une racine carrée de zz est un nombre complexe dont le carré vaut zz. L’équation 2Z=z2Z=z décrit une division par deux, tandis que les deux autres conditions ne caractérisent pas une racine carrée complexe.

19. Si z=reiθz=re^{i\theta} est non nul, quelles sont ses racines carrées complexes ?

reiθ\sqrt r e^{i\theta} et −reiθ-\sqrt r e^{i\theta}
reiθ/2r e^{i\theta/2} et −reiθ/2-r e^{i\theta/2}
reiθ/2\sqrt r e^{i\theta/2} et re−iθ/2\sqrt r e^{-i\theta/2}
reiθ/2\sqrt r e^{i\theta/2} et −reiθ/2-\sqrt r e^{i\theta/2}

$$\sqrt r e^{i\theta/2}$$ et $$-\sqrt r e^{i\theta/2}$$

Explication

Pour un complexe non nul écrit sous forme polaire, les deux racines ont un module égal à r\sqrt r et des arguments opposés par changement de signe. Les autres propositions utilisent soit un module incorrect, soit un argument non divisé par deux, soit une paire qui n’est pas généralement opposée.

20. Quel est le discriminant de l’équation az2+bz+c=0az^2+bz+c=0 avec a≠0a\ne0 ?

Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac
Δ=(b−2a)(b+2c)\Delta=(b-2a)(b+2c)
Δ=4ac−b2\Delta=4ac-b^2
Δ=b2+4ac\Delta=b^2+4ac

$$\Delta=b^2-4ac$$

Explication

Le discriminant d’une équation du second degré est calculé par Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac. Changer le signe du terme 4ac4ac ou modifier les facteurs produit une quantité différente du discriminant.

21. Pour une équation du second degré avec a≠0a\ne0 et Δ=0\Delta=0, quelle conclusion est correcte ?

Elle possède une racine double z0=−b2az_0=-\frac{b}{2a}
Elle possède deux racines distinctes z1=−b2az_1=-\frac{b}{2a} et z2=b2az_2=\frac{b}{2a}
Elle ne possède aucune racine dans le plan complexe
Elle possède deux racines complexes conjuguées de parties réelles opposées

Elle possède une racine double $$z_0=-\frac{b}{2a}$$

Explication

Lorsque le discriminant est nul, les deux solutions se confondent en une racine double égale à −b2a-\frac{b}{2a}. Les racines complexes existent dans C\mathbb C, et le cas de deux solutions distinctes correspond à un discriminant non nul.

22. Lorsque aa, bb et cc sont réels, que peut-on déduire de Δ<0\Delta<0 pour l’équation az2+bz+c=0az^2+bz+c=0 ?

Elle possède une racine réelle double
Elle ne possède aucune solution complexe
Elle possède deux racines réelles distinctes
Elle possède deux racines complexes conjuguées

Elle possède deux racines complexes conjuguées

Explication

Avec des coefficients réels, un discriminant négatif produit deux racines complexes conjuguées, non réelles. Un discriminant positif donne deux racines réelles distinctes, tandis que le discriminant nul donne une racine réelle double.

23. Si A et B ont pour affixes a et b, quelle expression représente l’affixe du milieu de [AB] ?

2(b−a)2(b-a)
b−a2\frac{b-a}{2}
a+b2\frac{a+b}{2}
a+ba+b

$$\frac{a+b}{2}$$

Explication

Le milieu de [AB] a pour affixe la moyenne des affixes de A et de B. L’expression b−a2\frac{b-a}{2} correspond à la moitié de l’affixe du vecteur AB→\overrightarrow{AB}, et non à celle du milieu.

24. Pour trois points distincts A, B et C d’affixes a, b et c, que représente le module de Z=b−ac−aZ=\frac{b-a}{c-a} ?

La longueur du segment BC
Le rapport ABAC\frac{AB}{AC}
La mesure de l’angle orienté de AC vers AB
Le rapport ACAB\frac{AC}{AB}

Le rapport $$\frac{AB}{AC}$$

Explication

Le module de ce quotient compare les longueurs et vérifie ∣Z∣=ABAC|Z|=\frac{AB}{AC}. L’argument de Z, et non son module, donne l’angle orienté de AC vers AB.

25. Quelle condition caractérise le fait que le triangle ABC soit rectangle en A, avec des affixes a, b et c ?

b−ac−a∈C∖R\frac{b-a}{c-a}\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}
b−ac−b∈iR\frac{b-a}{c-b}\in i\mathbb{R}
b−ac−a∈R\frac{b-a}{c-a}\in\mathbb{R}
b−ac−a∈iR\frac{b-a}{c-a}\in i\mathbb{R}

$$\frac{b-a}{c-a}\in i\mathbb{R}$$

Explication

Le quotient appartient à iRi\mathbb{R} lorsque les directions de AB et AC sont perpendiculaires, ce qui caractérise un angle droit en A. L’appartenance à R\mathbb{R} caractérise plutôt l’alignement des trois points.

26. Quelle écriture complexe représente une translation de vecteur d’affixe b ?

z′=z+bz'=z+b
z′=bzz'=bz
z′=b(z+1)z'=b(z+1)
z′=z−bz'=z-b

$$z'=z+b$$

Explication

Une translation ajoute à chaque affixe l’affixe b du vecteur de translation. La multiplication par b décrit une autre transformation, tandis que la soustraction correspondrait à une translation de vecteur d’affixe −b-b.

27. Une homothétie de centre d’affixe ω\omega et de rapport réel non nul k transforme une affixe z en quelle affixe ?

z′=ω+z−ωkz'=\omega+\frac{z-\omega}{k}
z′=ω+k(z−ω)z'=\omega+k(z-\omega)
z′=z+kωz'=z+k\omega
z′=kω(z−ω)z'=k\omega(z-\omega)

$$z'=\omega+k(z-\omega)$$

Explication

L’expression part du vecteur reliant le centre à z, le multiplie par k, puis le reporte depuis le centre. La division par k correspondrait à une homothétie de rapport inverse, tandis que les autres expressions ne conservent pas cette structure centrée en ω\omega.

28. Quelle formule représente une rotation de centre d’affixe ω\omega et d’angle θ\theta ?

z′=z+eiθωz'=z+e^{i\theta}\omega
z′=ω+eiθ(z−ω)z'=\omega+e^{i\theta}(z-\omega)
z′=eiθz+ωz'=e^{i\theta}z+\omega
z′=ω+θ(z−ω)z'=\omega+\theta(z-\omega)

$$z'=\omega+e^{i\theta}(z-\omega)$$

Explication

La rotation multiplie le vecteur z−ωz-\omega par eiθe^{i\theta}, puis ajoute le centre ω\omega. Multiplier directement z sans recentrer la transformation ne garantit pas que le centre de rotation soit ω\omega.

29. Quelle propriété définit une similitude du plan ?

Elle conserve toutes les distances et inverse certaines orientations.
Elle multiplie toutes les distances par un même rapport strictement positif k.
Elle transforme chaque distance selon un rapport dépendant du point considéré.
Elle conserve les angles mais impose que chaque distance devienne nulle.

Elle multiplie toutes les distances par un même rapport strictement positif k.

Explication

Une similitude applique à toutes les distances un facteur commun strictement positif, ce qui préserve la forme à un changement d’échelle près. Une transformation dont le rapport varie selon les points ne possède pas cette propriété de similitude.

30. Comment distinguer les formes complexes d’une similitude directe et d’une similitude indirecte ?

La directe utilise zˉ\bar z, tandis que l’indirecte utilise z.
La directe utilise z, tandis que l’indirecte utilise zˉ\bar z.
La directe est affine, tandis que l’indirecte ne comporte aucun terme constant.
La directe utilise un coefficient réel, tandis que l’indirecte utilise un coefficient imaginaire.

La directe utilise z, tandis que l’indirecte utilise $$\bar z$$.

Explication

Une similitude directe s’écrit z′=az+bz'=az+b, alors qu’une similitude indirecte s’écrit z′=azˉ+bz'=a\bar z+b, avec a non nul. La conjugaison complexe est donc le critère qui distingue ici les deux formes.

31. Pour une similitude donnée par z′=az+bz'=az+b ou z′=azˉ+bz'=a\bar z+b, quel est le rapport des distances ?

k=∣b∣k=|b|
k=a+bk=a+b
k=1∣a∣k=\frac{1}{|a|}
k=∣a∣k=|a|

$$k=|a|$$

Explication

Le coefficient a agit sur les vecteurs par une multiplication dont le facteur de longueur est son module, donc k=∣a∣k=|a|. Le terme b réalise une translation et ne modifie pas les distances, tandis que l’inverse du module n’est pas le rapport demandé.

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Comment s'écrit un nombre complexe de façon unique ?

Sous la forme z=a+ibz=a+ib avec a,b ∈ Ra,b \,\in\, \mathbb{R} et i2=−1i^2=-1.

Quelle est la formule pour la somme de z=a+ibz=a+ib et z′=c+idz'=c+id ?

z+z′=(a+c)+i(b+d)z+z'=(a+c)+i(b+d).

Quelle est la formule pour le produit de z=a+ibz=a+ib et z′=c+idz'=c+id ?

zz′=(ac−bd)+i(ad+bc)zz'=(ac-bd)+i(ad+bc).

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