Fiche de révision : Nombres complexes et géométrie

📋 Plan du Cours

1. Forme algébrique et calculs
2. Plan complexe et affixes
3. Conjugué et propriétés
4. Module et inégalités
5. Arguments et formes trigonométriques
6. Exponentielles et trigonométrie
7. Binôme et linéarisation
8. Racines carrées complexes
9. Équations du second degré
10. Affixes et configurations géométriques
11. Transformations du plan
12. Similitudes et applications linéaires

📖 1. Forme algébrique et calculs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : Tout nombre complexe s’écrit de manière unique sous la forme z=a+ib, où a et b sont réels et i vérifie i^2=-1.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour z=a+ib et z'=c+id, on a $z+z'=(a+c)+i(b+d)$ et $zz'=(ac-bd)+i(ad+bc).$

📌 Un complexe z=a+ib est réel si et seulement si Im(z)=0, et il est imaginaire pur si et seulement si Re(z)=0.

📖 2. Plan complexe et affixes

🔑 Notions clés & Définitions

• Affixe : Dans un plan orthonormé direct, le complexe z=a+ib est l’affixe du point M(a,b) et du vecteur \overrightarrow{OM}.

💡 Astuce mémo

Visualiser z=a+ib comme le point M(a,b) dans le plan d’Argand-Cauchy

📖 3. Conjugué et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjugué : Le conjugué du nombre complexe z=x+iy est le nombre complexe \bar z=x-iy.

★ À maîtriser

📌 Le conjugué d’une somme, d’un produit ou d’un quotient non nul est respectivement la somme, le produit ou le quotient des conjugués.

Compléments

📐 Formule — Pour tout complexe z, $\operatorname{Re}(z)=\frac{z+\bar z}{2}$ et $\operatorname{Im}(z)=\frac{z-\bar z}{2i}.$

💡 Astuce mémo

Réel : z=\bar z ; imaginaire pur : z=-\bar z

📖 4. Module et inégalités

🔑 Notions clés & Définitions

• Module : Le module d’un complexe z est le réel positif $|z|=\sqrt{z\bar z}$, et si z=a+ib, alors $|z|=\sqrt{a^2+b^2}.$

📝 Points essentiels

📌 Pour tout complexe z, |z|=0 si et seulement si z=0, et |z|=1 si et seulement si 1/z=\bar z lorsque z est non nul.

📐 Formule — Pour z1,z2 complexes, $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$ et $\left||z_1|-|z_2|\right|\leq|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|.$

💡 Astuce mémo

Le module est la longueur du vecteur allant de O au point d’affixe z

📖 5. Arguments et formes trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Argument : Pour z=a+ib non nul, un réel θ est un argument de z lorsque $\cos\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ et $\sin\theta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si z est non nul, de module r et d’argument θ, sa forme trigonométrique est $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ et sa forme exponentielle est $z=re^{i\theta}.$

💡 Astuce mémo

Module puis argument, puis forme trigonométrique ou exponentielle

📖 6. Exponentielles et trigonométrie

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les formules d’Euler sont $\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.$

📌 Le produit de deux exponentielles complexes additionne les arguments : $e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}$, tandis que leur quotient soustrait les arguments.

📐 Formule — La formule de Moivre est $\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)=(\cos\theta+i\sin\theta)^n.$

💡 Astuce mémo

Produit d’exponentielles → addition des arguments → formule de Moivre

📖 7. Binôme et linéarisation

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour n entier naturel, la formule du binôme est $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}.$

• 🔄 La linéarisation d’une puissance de cosinus suit trois étapes:
  1. Remplacer cos(x) par sa formule d’Euler
  2. Développer avec la formule du binôme
  3. Prendre la partie réelle

📖 8. Racines carrées complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Une racine carrée d’un complexe z est un complexe Z tel que Z^2=z.

📝 Points essentiels

• Si z=re^{i\theta} est non nul, ses racines carrées sont $\sqrt r e^{i\theta/2}$ et $-\sqrt r e^{i\theta/2}.$

💡 Astuce mémo

Pour z non nul, les deux racines sont opposées

📖 9. Équations du second degré

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour l’équation az^2+bz+c=0 avec a non nul, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac.$

📌 Si Δ=0, l’équation du second degré possède la racine double $z_0=-\frac{b}{2a}$ ; si Δ est non nul, ses deux solutions sont $z_1=\frac{-b-\delta}{2a}$ et $z_2=\frac{-b+\delta}{2a}$, où δ est une racine carrée de Δ.

📌 Lorsque a,b,c sont réels, Δ<0 donne deux racines complexes conjuguées, tandis que Δ>0 donne deux racines réelles distinctes.

💡 Astuce mémo

Discriminant, racine carrée du discriminant, puis deux solutions

📖 10. Affixes et configurations géométriques

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour deux points A et B d’affixes a et b, l’affixe du vecteur \overrightarrow{AB} est b-a et l’affixe du milieu de [AB] est $\frac{a+b}{2}.$

📐 Formule — Pour trois points distincts A, B et C d’affixes a,b,c, le rapport $Z=\frac{b-a}{c-a}$ vérifie $\frac{AB}{AC}=|Z|$ et l’angle orienté de AC vers AB vaut arg(Z) modulo 2π.

📌 Les points A, B et C sont alignés si et seulement si $\frac{b-a}{c-a}\in\mathbb R$, tandis que le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si $\frac{b-a}{c-a}\in i\mathbb R.$

💡 Astuce mémo

Rapport réel : alignement ; rapport imaginaire pur : orthogonalité

📖 11. Transformations du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Translation : Une translation de vecteur d’affixe b est représentée dans le plan complexe par $z' = z+b.$
• Homothétie : Une homothétie de centre d’affixe ω et de rapport réel non nul k est représentée par $z'=\omega+k(z-\omega).$
• Rotation : Une rotation de centre d’affixe ω et d’angle θ est représentée par $z'=\omega+e^{i\theta}(z-\omega).$

📖 12. Similitudes et applications linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Similitude : Une similitude est une transformation du plan qui multiplie toutes les distances par un même rapport strictement positif k.
• Application linéaire : Une application f:E→F entre espaces vectoriels est linéaire si, pour tous vecteurs x,y et scalaire a, $f(a x+y)=a f(x)+f(y).$

📝 Points essentiels

📌 Une similitude directe s’écrit z'=az+b, tandis qu’une similitude indirecte s’écrit z'=a\bar z+b, avec a non nul.

📐 Formule — Pour une similitude d’écriture z'=az+b ou z'=a\bar z+b, le rapport des distances vaut $k=|a|.$

💡 Astuce mémo

Similitude directe : az+b ; indirecte : az+b

📊 Tableaux de synthèse

Critères géométriques complexes