Fiche de révision : Nombres et arithmétiques

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres entiers
2. Nombres décimaux et rationnels
3. Nombres réels et inclusions
4. Puissances et écriture scientifique
5. Racines carrées

📖 1. Ensembles de nombres entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres entiers naturels : Nombres entiers positifs
• Entiers relatifs : Tous les nombres entiers

📝 Points essentiels

• Le symbole ∈ indique l’appartenance à un ensemble, tandis que le symbole ∉ indique la non-appartenance.

• Le symbole ⊂ indique qu’un ensemble est inclus dans un autre, tandis que le symbole ⊄ indique la non-inclusion.

📖 2. Nombres décimaux et rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : Nombres qui peuvent s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$, où a et n sont des entiers

★ À maîtriser

• Le nombre 1/3 est rationnel mais n’est pas décimal, car il ne peut pas s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$.

Compléments

• Pour démontrer une proposition par l’absurde, on suppose que sa contraire est vraie, puis on en déduit une contradiction afin de conclure que la proposition initiale est vraie.

💡 Astuce mémo

Écriture fractionnaire contrôlée → appartenance à D ou à Q

📖 3. Nombres réels et inclusions

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Ensemble de tous les nombres rationnels et irrationnels

★ À maîtriser

• Les ensembles de nombres vérifient l’inclusion $N \subset Z \subset D \subset Q \subset R$.

Compléments

• À chaque point d’une droite graduée correspond un unique nombre réel, son abscisse, et réciproquement à chaque nombre réel correspond un unique point de cette droite.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 4. Puissances et écriture scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Pour un réel a et un entier naturel non nul n, $a^n$ est le produit de n facteurs égaux à a, avec $a^0=1$ pour a différent de 0 et $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.
• Écriture scientifique : Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme $a\times10^n$, où n est un entier relatif et où $-10<a\leq-1$ ou $1\leq a<10$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour des réels non nuls a et b et des entiers relatifs m et n, les règles sont $a^m\times a^n=a^{m+n}$, $(a^m)^n=a^{mn}$, $a^n\times b^n=(ab)^n$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ et $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$.

💡 Astuce mémo

Multiplier les mêmes bases → additionner les exposants ; puissance d’une puissance → multiplier les exposants

📖 5. Racines carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Nombre positif dont le carré vaut a

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour des réels positifs a et b, on a $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$ et $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$.

📐 Formule — Pour tout réel a, $\sqrt{a^2}=|a|$, donc $\sqrt{a^2}=a$ si a est positif et $\sqrt{a^2}=-a$ si a est négatif.

Compléments

• Dans une expression radicale, le symbole √ est le radical et le nombre placé sous ce symbole est le radicande.

💡 Astuce mémo

Radicande sous le radical, racine carrée positive à l’extérieur

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions des ensembles de nombres