Fiche de révision : Nombres et calculs

📋 Plan du Cours

1. Ensembles des nombres entiers
2. Nombres décimaux et rationnels
3. Nombres réels et irrationnels
4. Multiples et division euclidienne
5. Divisibilité et parité
6. Démonstrations arithmétiques

📖 1. Ensembles des nombres entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Entier naturel : Nombre entier positif ou nul, et l’ensemble des entiers naturels est noté N.
• Entier relatif : Nombre entier positif, négatif ou nul, et l’ensemble des entiers relatifs est noté Z.

📝 Points essentiels

📌 L’appartenance ∈ concerne un nombre et un ensemble, tandis que l’inclusion ⊂ concerne un ensemble inclus dans un autre ensemble.

📌 Tout entier naturel est un entier relatif, ce qui se note N ⊂ Z.

💡 Astuce mémo

N s’inclut dans Z : naturel puis relatif

📖 2. Nombres décimaux et rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre décimal : Nombre qui peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^k}$ avec a ∈ Z et k ∈ N, et dont l’écriture décimale comporte un nombre fini de chiffres.
• Nombre rationnel : Nombre qui peut s’écrire sous la forme $\frac{p}{q}$ avec p ∈ Z et q ∈ Z* non nul, et l’ensemble des rationnels est noté Q.

📝 Points essentiels

• Tout entier relatif est un nombre décimal, car il peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^0}$.

💡 Astuce mémo

Décimal : écriture finie ; rationnel : fraction p/q

📖 3. Nombres réels et irrationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres irrationnels : Nombres qui ne peuvent pas s’écrire sous la forme d’une fraction d’entiers, et leur ensemble est noté Q′.

📝 Points essentiels

📌 Les ensembles Q et Q′ sont disjoints et leur réunion forme l’ensemble des nombres réels R.

📌 Les ensembles de nombres sont emboîtés selon la relation N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

💡 Astuce mémo

Q et Q′ sont disjoints, mais tous deux forment R

📖 4. Multiples et division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Pour deux entiers relatifs a et b, le quotient q et le reste r de la division euclidienne vérifient $a=bq+r$ avec $0\le r<b$.
• Multiple et diviseur : a est un multiple de b, ou b est un diviseur de a, s’il existe un entier relatif q tel que $a=bq$.

★ À maîtriser

📌 Un entier a est divisible par b si et seulement si le reste de la division euclidienne de a par b est nul.

Compléments

• Comme $21=7\times3$, 21 est un multiple de 7 et de 3, tandis que 7 et 3 sont des diviseurs de 21.

💡 Astuce mémo

Reste nul → divisibilité → multiple et diviseur

📖 5. Divisibilité et parité

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre pair : Un entier relatif est pair s’il est un multiple de 2, c’est-à-dire s’il existe un entier relatif q tel que $a=2q$.
• Nombre impair : Un entier relatif est impair s’il existe un entier relatif q tel que $a=2q+1$.

📝 Points essentiels

📌 Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

📌 Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

💡 Astuce mémo

2-3-5-10 : unités, somme, unités, unité

📖 6. Démonstrations arithmétiques

★ À maîtriser

📌 Le carré d’un nombre impair est un nombre impair.

• Pour démontrer par l’absurde qu’une proposition est vraie, on suppose sa négation, on en déduit une contradiction, puis on conclut que la proposition initiale est vraie.

📌 Le nombre $\frac{1}{3}$ n’est pas décimal, car supposer $\frac{1}{3}=\frac{a}{10^n}$ conduirait à $10^n=3a$, ce qui ferait de $10^n$ un multiple de 3 alors que la somme de ses chiffres vaut 1.

Compléments

📌 La somme de deux multiples d’un même entier a est encore un multiple de a.

💡 Astuce mémo

Supposition contraire → contradiction → conclusion

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles de nombres