Fiche de révision : Suites numériques : récurrence et limites

📋 Plan du Cours

1. Principe du raisonnement par récurrence
2. Application de la récurrence aux suites
3. Bornes des suites numériques
4. Définitions et exemples de limites
5. Limites usuelles et théorème de divergence
6. Opérations sur les limites
7. Limites des suites géométriques

📖 1. Principe du raisonnement par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Raisonnement par récurrence : Démonstration qu’une propriété P_n dépendant d’un entier naturel n est vraie pour tout n ≥ n_0 en vérifiant une initialisation et une hérédité.

📝 Points essentiels

• Une démonstration par récurrence comporte l’initialisation de P_{n_0}, puis la preuve que P_n vraie entraîne P_{n+1} vraie, avant la conclusion que P_n est vraie pour tout n ≥ n_0.

💡 Astuce mémo

Comme des dominos : initialiser le premier, puis faire tomber chaque suivant.

📖 2. Application de la récurrence aux suites

📝 Points essentiels

• Pour u_0 = 2 et u_{n+1} = 2u_n - 3, la récurrence montre que u_n = 3 - 2^n pour tout entier naturel n.

• Pour u_0 = 1 et u_{n+1} = 2u_n + 1, la récurrence permet de montrer que la suite (u_n) est strictement croissante sur N.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion.

📖 3. Bornes des suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : Une suite (u_n) est majorée par M si M appartient à R et si, pour tout n ∈ N, u_n ≤ M.
• Suite minorée : Une suite (u_n) est minorée par m si m appartient à R et si, pour tout n ∈ N, u_n ≥ m.
• Suite bornée : Une suite est à la fois majorée et minorée.

📝 Points essentiels

• La suite définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = 0,2u_n + 4 est un exemple de suite que l’on peut montrer majorée par 5.

💡 Astuce mémo

Majorée : plafond ; minorée : plancher.

📖 4. Définitions et exemples de limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence vers un réel : Pour tout réel ε > 0, il existe un entier naturel N tel que, pour tout n ≥ N, |u_n - ℓ| < ε.
• Divergence vers l’infini : Une suite tend vers +∞ si, pour tout réel A > 0, il existe un entier naturel N tel que, pour tout n ≥ N, u_n > A, et elle tend vers −∞ si, pour tout réel A < 0, il existe un entier naturel N tel que, pour tout n ≥ N, u_n < A.

📝 Points essentiels

• La suite définie par u_n = e^n tend vers +∞, celle définie par u_n = -n^2 tend vers −∞, et celle définie par u_n = 1/n + 2 tend vers 2.

💡 Astuce mémo

Les termes se rapprochent d’une cible ou dépassent durablement tout seuil.

📖 5. Limites usuelles et théorème de divergence

📝 Points essentiels

• Pour k ∈ R*+ et p > 0, les suites k × n^p, k × √n et k × e^n tendent vers +∞, tandis qu’elles tendent vers −∞ si k est strictement négatif.

• Pour k ∈ R et p > 0, les suites k / n^p, k / √n et k × e^{-n} tendent vers 0.

📌 Une suite croissante qui n’est pas majorée diverge vers +∞.

💡 Astuce mémo

Croissante + non majorée → divergence vers +∞.

📖 6. Opérations sur les limites

📝 Points essentiels

📌 Pour une somme, un produit ou un quotient de suites, les formes indéterminées sont respectivement ∞ + (−∞), 0 × ∞ et ∞/∞ ou 0/0.

📌 Dans tous les cas d’opérations sur les suites qui ne sont pas des formes indéterminées, on effectue l’opération avec les limites connues.

💡 Astuce mémo

Les formes indéterminées opposent infinis de signes contraires, zéro et infini.

📖 7. Limites des suites géométriques

📝 Points essentiels

📌 Pour une suite géométrique de premier terme u_0 > 0 et de raison q, si q > 1 alors u_n tend vers +∞, si q = 1 alors u_n tend vers u_0, si −1 < q < 1 alors u_n tend vers 0, et si q ≤ −1 alors la limite de u_n n’existe pas.

💡 Astuce mémo

q > 1, q = 1, |q| < 1, q ≤ −1 : infini, constant, zéro, divergence.

📊 Tableaux de synthèse

Comportement d’une suite géométrique