Suites numériques : récurrence et limites

📋 Plan du Cours

1. Principe du raisonnement par récurrence
2. Application de la récurrence aux suites
3. Bornes des suites numériques
4. Définitions et exemples de limites
5. Limites usuelles et théorème de divergence
6. Opérations sur les limites
7. Limites des suites géométriques

📖 1. Principe du raisonnement par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Raisonnement par récurrence : Démonstration qu’une propriété P_n dépendant d’un entier naturel n est vraie pour tout n ≥ n_0 en vérifiant une initialisation et une hérédité.

📝 Points essentiels

• Une démonstration par récurrence comporte l’initialisation de P_{n_0}, puis la preuve que P_n vraie entraîne P_{n+1} vraie, avant la conclusion que P_n est vraie pour tout n ≥ n_0.

💡 Astuce mémo

Comme des dominos : initialiser le premier, puis faire tomber chaque suivant.

📖 2. Application de la récurrence aux suites

📝 Points essentiels

• Pour u_0 = 2 et u_{n+1} = 2u_n - 3, la récurrence montre que u_n = 3 - 2^n pour tout entier naturel n.

• Pour u_0 = 1 et u_{n+1} = 2u_n + 1, la récurrence permet de montrer que la suite (u_n) est strictement croissante sur N.

💡 Astuce mémo