QCM : Suites numériques : récurrence et limites — 16 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle démarche permet de démontrer qu’une propriété PnP_n est vraie pour tout entier n≥n0n\geq n_0 par récurrence ?

Calculer plusieurs termes puis retenir la tendance observée
Établir la propriété au dernier rang puis remonter vers l’origine
Vérifier deux rangs successifs puis généraliser la propriété
Vérifier l’initialisation puis établir l’hérédité de la propriété

Vérifier l’initialisation puis établir l’hérédité de la propriété

Explication

Le raisonnement par récurrence repose sur la vérification de Pn0P_{n_0} et sur la preuve que PnP_n entraîne Pn+1P_{n+1}. Vérifier quelques rangs successifs ne suffit pas à démontrer une propriété pour tous les entiers concernés.

2. Dans une démonstration par récurrence, quelle est la fonction spécifique de l’hérédité ?

Vérifier que la propriété est vraie au rang initial n0n_0
Montrer que la vérité de PnP_n entraîne celle de Pn+1P_{n+1}
Identifier la valeur du premier terme de la suite étudiée
Conclure que la propriété est fausse à un rang donné

Montrer que la vérité de $$P_n$$ entraîne celle de $$P_{n+1}$$

Explication

L’hérédité établit le passage d’un rang au suivant en montrant que PnP_n vraie implique Pn+1P_{n+1} vraie. La vérification de Pn0P_{n_0} relève de l’initialisation, et non de l’hérédité.

3. Pour la suite définie par u0=2u_0=2 et un+1=2un−3u_{n+1}=2u_n-3, quelle formule explicite la récurrence permet-elle de démontrer ?

un=2n+3u_n=2^n+3
un=3n−2u_n=3n-2
un=2n−3u_n=2n-3
un=3−2nu_n=3-2^n

$$u_n=3-2^n$$

Explication

La formule un=3−2nu_n=3-2^n vérifie la valeur initiale et la relation de récurrence, ce qui permet de la démontrer par récurrence. Une relation comme un+1=2un−3u_{n+1}=2u_n-3 décrit la construction des termes, mais ne constitue pas cette formule explicite.

4. Pour la suite définie par u0=1u_0=1 et un+1=2un+1u_{n+1}=2u_n+1, quelle propriété peut être établie par récurrence ?

La suite est strictement décroissante sur N\mathbb{N}
La suite alterne entre deux valeurs sur N\mathbb{N}
La suite est constante sur N\mathbb{N}
La suite est strictement croissante sur N\mathbb{N}

La suite est strictement croissante sur $$\mathbb{N}$$

Explication

La relation un+1=2un+1u_{n+1}=2u_n+1 permet de démontrer que chaque terme est supérieur au précédent, donc que la suite est strictement croissante. Elle ne décrit ni une suite constante ni une alternance entre deux valeurs.

5. Quelle condition définit un réel MM comme majorant de la suite (un)(u_n) ?

M∈RM\in\mathbb{R} et un≤Mu_n\leq M pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}
M∈RM\in\mathbb{R} et un≥Mu_n\geq M pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}
M∈RM\in\mathbb{R} et un<Mu_n<M pour un rang particulier
M∈RM\in\mathbb{R} et un=Mu_n=M pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}

$$M\in\mathbb{R}$$ et $$u_n\leq M$$ pour tout $$n\in\mathbb{N}$$

Explication

Un majorant est un réel qui est supérieur ou égal à chacun des termes de la suite, d’où la condition un≤Mu_n\leq M pour tout nn. La condition un≥Mu_n\geq M correspond à la notion de minorant.

6. Quelle condition définit un réel mm comme minorant de la suite (un)(u_n) ?

m∈Rm\in\mathbb{R} et un≥mu_n\geq m pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}
m∈Rm\in\mathbb{R} et un>mu_n>m pour un rang particulier
m∈Rm\in\mathbb{R} et un≤mu_n\leq m pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}
m∈Rm\in\mathbb{R} et un=mu_n=m pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}

$$m\in\mathbb{R}$$ et $$u_n\geq m$$ pour tout $$n\in\mathbb{N}$$

Explication

Un minorant est un réel inférieur ou égal à chaque terme de la suite, ce qui s’écrit un≥mu_n\geq m pour tout nn. L’inégalité inverse caractérise un majorant, et une égalité à tous les rangs n’est pas requise.

7. Une suite est dite bornée dans quelle situation ?

Lorsqu’elle possède un minorant et que ses termes sont négatifs
Lorsqu’elle possède deux termes situés de part et d’autre de zéro
Lorsqu’elle possède à la fois un majorant et un minorant
Lorsqu’elle possède un majorant et que ses termes sont positifs

Lorsqu’elle possède à la fois un majorant et un minorant

Explication

Une suite bornée possède simultanément un majorant et un minorant. Être seulement majorée ou seulement minorée ne suffit pas, et la position des termes par rapport à zéro n’est pas la définition de la bornitude.

8. Quelle condition formelle caractérise la convergence d’une suite vers un réel ℓ\ell ?

Pour tout seuil positif AA, les termes finissent par vérifier un>Au_n>A.
Pour tout ε>0\varepsilon > 0, les termes finissent par vérifier ∣un−ℓ∣<ε|u_n-\ell|<\varepsilon.
Les termes dépassent toute valeur négative à partir d’un certain rang.
La suite possède un terme égal à ℓ\ell à partir d’un certain rang.

Pour tout $$\varepsilon > 0$$, les termes finissent par vérifier $$|u_n-\ell|<\varepsilon$$.

Explication

La convergence vers ℓ\ell signifie que, pour chaque précision ε>0\varepsilon>0, les termes sont finalement à moins de ε\varepsilon de ℓ\ell. Dépasser tout seuil positif décrit plutôt une divergence vers +∞+\infty.

9. Laquelle de ces suites tend vers −∞-\infty ?

un=−n2u_n=-n^2
un=enu_n=e^n
un=1nu_n=\frac{1}{n}
un=1n+2u_n=\frac{1}{n}+2

$$u_n=-n^2$$

Explication

Comme −n2-n^2 devient inférieur à tout seuil négatif lorsque nn grandit, cette suite tend vers −∞-\infty. La suite ene^n tend vers +∞+\infty, tandis que les deux autres convergent vers des réels finis.

10. Pour quelle condition sur kk les suites k×npk\times n^p, k×nk\times\sqrt n et k×enk\times e^n tendent-elles vers −∞-\infty, avec p>0p>0 ?

Lorsque k>0k>0.
Lorsque p<0p<0.
Lorsque k=0k=0.
Lorsque k<0k<0.

Lorsque $$k<0$$.

Explication

Les facteurs npn^p, n\sqrt n et ene^n deviennent grands et positifs, donc un coefficient strictement négatif entraîne une divergence vers −∞-\infty. Avec un coefficient positif, ces produits tendent vers +∞+\infty.

11. Quelle est la limite de knp\frac{k}{n^p} lorsque p>0p>0 et k∈Rk\in\mathbb R ?

kk
−∞-\infty
+∞+\infty
00

$$0$$

Explication

Pour p>0p>0, le dénominateur npn^p devient arbitrairement grand, si bien que knp\frac{k}{n^p} tend vers 00. Cette situation diffère de celle de k×npk\times n^p avec k≠0k\ne0, qui diverge vers un infini selon le signe de kk.

12. Que peut-on conclure pour une suite croissante qui n’est pas majorée ?

Elle diverge vers −∞-\infty.
Elle diverge vers +∞+\infty.
Elle converge vers sa borne supérieure.
Elle alterne entre deux valeurs finies.

Elle diverge vers $$+\infty$$.

Explication

Une suite croissante non majorée dépasse tout seuil réel à partir d’un certain rang et diverge donc vers +∞+\infty. L’absence de majorant exclut une convergence vers une borne supérieure finie.

13. Quelle forme est indéterminée lors du calcul de la limite d’un quotient de suites ?

reˊel∞\frac{\text{réel}}{\infty} ou reˊel×0\text{réel}\times0
∞+∞\infty+\infty ou 0+00+0
∞∞\frac{\infty}{\infty} ou 00\frac{0}{0}
∞+(−∞)\infty+(-\infty) ou 0×∞0\times\infty

$$\frac{\infty}{\infty}$$ ou $$\frac{0}{0}$$

Explication

Pour un quotient, les formes indéterminées sont ∞∞\frac{\infty}{\infty} et 00\frac{0}{0}, car les limites séparées ne suffisent pas à déterminer le quotient. Les formes ∞+(−∞)\infty+(-\infty) et 0×∞0\times\infty concernent respectivement une somme et un produit.

14. Comment calcule-t-on la limite d’une opération entre suites lorsque les limites connues ne forment pas une forme indéterminée ?

On compare les premiers termes avant de choisir une opération.
On remplace chaque limite par zéro avant d’effectuer l’opération.
On effectue l’opération directement sur les limites connues.
On transforme systématiquement l’expression en quotient.

On effectue l’opération directement sur les limites connues.

Explication

Lorsqu’aucune forme indéterminée n’apparaît, les règles usuelles permettent d’appliquer directement l’opération aux limites des suites. Une transformation supplémentaire devient nécessaire lorsqu’une forme indéterminée empêche cette conclusion immédiate.

15. Soit une suite géométrique de premier terme u0>0u_0>0. Que peut-on conclure si sa raison vérifie −1<q<1-1<q<1 ?

La suite tend vers +∞+\infty.
La suite converge vers u0u_0.
La suite n’admet pas de limite.
La suite converge vers 00.

La suite converge vers $$0$$.

Explication

Lorsque la raison appartient à l’intervalle (−1,1)(-1,1), les termes d’une suite géométrique de premier terme positif se rapprochent de 00. La non-existence de la limite concerne le cas q≤−1q\leq -1, et non cet intervalle.

16. Pour une suite géométrique de premier terme u0>0u_0>0, quel comportement correspond à une raison q≤−1q\leq -1 ?

La suite tend vers +∞+\infty.
La suite converge vers u0u_0.
La suite converge vers 00.
La suite n’admet pas de limite.

La suite n’admet pas de limite.

Explication

Une raison vérifiant q≤−1q\leq -1 entraîne une absence de limite pour la suite géométrique. La convergence vers 00 est associée à −1<q<1-1<q<1, tandis que la convergence vers u0u_0 correspond à q=1q=1.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 28 flashcards sur Suites numériques : récurrence et limites.

Qu'est-ce que le raisonnement par récurrence ?

Une méthode pour prouver qu'une propriété P_n est vraie pour tout n ≥ n_0.

Quels sont les deux éléments vérifiés dans un raisonnement par récurrence ?

L'initialisation et l'hérédité.

Quelle est la première étape d'une démonstration par récurrence ?

L'initialisation de Pn0P_{n_0}.

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