QCM : Nombres et calculs — 19 questions

Explication

Un entier naturel est un nombre entier positif ou nul, et l’ensemble correspondant est noté $\mathbb{N}$. La présence d’entiers négatifs caractérise plutôt les entiers relatifs.

Explication

Les entiers relatifs regroupent les nombres entiers positifs, négatifs et nuls, et sont notés $\mathbb{Z}$. Les entiers naturels ne comprennent pas les valeurs négatives.

Explication

Le symbole $\in$ indique l’appartenance d’un nombre à un ensemble, donc $5 \in \mathbb{Z}$ est correct. Le symbole $\subset$ s’emploie entre deux ensembles, et non entre un nombre et un ensemble.

Explication

Tout entier naturel est aussi un entier relatif, ce qui donne $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$. L’ensemble des entiers relatifs contient en plus les entiers négatifs et n’est donc pas inclus dans $\mathbb{N}$.

Explication

On a $\frac{7}{20}=\frac{35}{10^2}$, donc ce nombre possède une écriture décimale finie. En revanche, $\frac{1}{3}$ a une écriture décimale infinie et périodique.

Explication

Un nombre rationnel est quotient de deux entiers, avec un dénominateur non nul, et l’ensemble correspondant est noté $\mathbb{Q}$. Une écriture décimale finie caractérise un nombre décimal, qui constitue une catégorie plus restreinte.

Explication

Un nombre irrationnel ne peut pas être représenté par une fraction de deux entiers, et l’ensemble des irrationnels est noté $\mathbb{Q}'$. Une écriture sous la forme $\frac{a}{10^k}$ décrit un nombre décimal.

Explication

Les ensembles $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{Q}'$ n’ont aucun élément commun et leur réunion forme l’ensemble des réels $\mathbb{R}$. Les ensembles $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$ et $\mathbb{Q}$ sont emboîtés entre eux, mais les irrationnels ne sont pas inclus dans $\mathbb{Q}$.

Explication

Les ensembles sont emboîtés dans l’ordre $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$. Par exemple, les entiers relatifs contiennent les naturels, tandis que les réels contiennent les rationnels.

Explication

La division euclidienne s’écrit comme une décomposition de $a$ en un multiple de $b$ et un reste inférieur à $b$. La relation $a=bq-r$ ne correspond pas à la définition attendue du reste.

Explication

Dire que $b$ divise $a$ signifie que $a$ est un multiple de $b$, donc $a=bq$ pour un entier relatif $q$. L’expression $b=aq$ inverserait le rôle du multiple et celui du diviseur.

Explication

La divisibilité par $b$ équivaut à l’existence d’un reste nul dans la division euclidienne de $a$ par $b$. Un quotient nul ou un reste égal au diviseur ne caractérise pas cette propriété.

Explication

La divisibilité par $2$ se lit directement à partir du chiffre des unités, qui doit être pair. La somme des chiffres intervient dans le critère de divisibilité par $3$, tandis que $0$ ou $5$ concerne la divisibilité par $5$.

Explication

Pour tester la divisibilité par $3$, on additionne les chiffres : $4+7+1=12$, et $12$ est divisible par $3$. Le chiffre des unités est utilisé notamment pour les critères de divisibilité par $2$ ou par $5$.

Explication

Un entier pair est un multiple de $2$, ce qui s’écrit $a=2q$ avec $q$ entier relatif. La forme $2q+1$ définit au contraire un entier impair.

Explication

Tout entier impair peut s’écrire comme le double d’un entier relatif augmenté de $1$, soit $a=2q+1$. La forme $2q$ correspond aux entiers pairs.

Explication

Le carré d’un entier impair reste impair, car un impair s’écrit $2q+1$ et son carré conserve une forme impaire. La parité du carré d’un entier pair est au contraire paire.

Explication

Une preuve par l’absurde commence par l’hypothèse que la proposition est fausse, puis montre que cette hypothèse conduit à une contradiction. La contradiction permet alors de valider la proposition de départ.

Explication

L’hypothèse d’une écriture décimale conduirait à $10^n=3a$, donc à un multiple de $3$, alors que la somme des chiffres de $10^n$ vaut $1$. La parité du dénominateur ne suffit pas à déterminer si une fraction est décimale.