Fiche de révision : Nombres et calculs

📋 Plan du Cours

1. Entiers naturels et relatifs
2. Multiples et diviseurs
3. Nombres pairs et impairs
4. Rationnels et nombres décimaux
5. Puissances et opérations

📖 1. Entiers naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Les entiers naturels sont les entiers positifs ou nuls, notés N : N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...}.
• Entiers relatifs : Tous les nombres entiers positifs, négatifs ou nuls, notés Z : Z = {... ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; ...}.

📝 Points essentiels

📌 Tout entier naturel est un entier relatif, ce qui se note N ⊂ Z.

💡 Astuce mémo

N contient les naturels positifs ou nuls ; Z ajoute les entiers négatifs.

📖 2. Multiples et diviseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Pour deux entiers a et b, a est un multiple de b s’il existe un entier k tel que a = kb ; dans ce cas, b est un diviseur de a.

★ À maîtriser

📌 La somme de deux multiples d’un nombre a est encore un multiple de a.

Compléments

• 77 est un multiple de 11 car 77 = 7 × 11, tandis que 11 n’est pas un multiple de 2 car 11/2 = 5,5 n’est pas un entier.

💡 Astuce mémo

a = kb entraîne : a est multiple de b et b est diviseur de a.

📖 3. Nombres pairs et impairs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre pair : Un nombre pair est un nombre entier qui est un multiple de 2 et qui peut s’écrire sous la forme 2k, où k est un entier.
• Nombre impair : Un nombre impair est un entier qui n’est pas un multiple de 2 et qui peut s’écrire sous la forme 2k+1, où k est un entier.

📝 Points essentiels

• 35 est un nombre impair car 35 = 2 × 17 + 1.

💡 Astuce mémo

Pair : 2k ; impair : 2k+1.

📖 4. Rationnels et nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : Nombre qui peut s’écrire sous la forme a/b, où a appartient à Z et b appartient à N* ; l’ensemble des rationnels est noté Q.
• Nombre décimal : Un nombre décimal est un rationnel qui peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$, où n appartient à N et a appartient à Z ; son écriture décimale comporte un nombre fini de chiffres.

★ À maîtriser

📌 Les inclusions entre ces ensembles sont N ⊂ D ⊂ Q : tout entier naturel est décimal et rationnel, mais tout rationnel n’est pas décimal.

Compléments

• Le nombre 5 appartient simultanément à N, D et Q, et 13/20 = 65/100 est un nombre rationnel décimal.

💡 Astuce mémo

N ⊂ D ⊂ Q.

📖 5. Puissances et opérations

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour a et b non nuls et m et n entiers relatifs, les puissances vérifient $a^{-m}=\frac{1}{a^m}$, $a^m\times a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ et $(a^m)^n=a^{m\times n}$.

📐 Formule — Pour a et b non nuls et n entier relatif, on a $(a\times b)^n=a^n\times b^n$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

Compléments

• On a $3^4\times3^7=3^{11}$ et $\frac{7^4}{7^6}=7^{-2}=\frac{1}{49}$.

• On a $(5^3)^7=5^{21}$, $(−6x)^2=36x^2$ et $\left(\frac{2}{3}\right)^4=\frac{16}{81}$.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles numériques