Fiche de révision : Nombres réels et encadrements

📋 Plan du Cours

1. Ensemble des nombres réels
2. Ensembles numériques particuliers
3. Inclusions et nature des nombres
4. Encadrement décimal

📖 1. Ensemble des nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble des nombres réels : Ensemble des abscisses des points d’une droite graduée.
• Réels non nuls : Ensemble des réels non nuls, noté ℝ* et vérifiant $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

📝 Points essentiels

• La droite graduée représentant les nombres réels s’appelle la droite des réels, la droite réelle ou la droite numérique.

• Des points d’une droite numérique peuvent avoir pour abscisses 0, 1, −3/2, 2,5 et π.

💡 Astuce mémo

Une droite graduée dont chaque point porte une abscisse réelle

📖 2. Ensembles numériques particuliers

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Ensemble des entiers positifs ou nuls, contenant notamment 0, 1, 2, 3 et 4.
• Entiers relatifs : Ensemble des entiers négatifs et positifs, contenant notamment −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 et 4.
• Nombres décimaux : Ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$, où a est un entier relatif et n un entier naturel.
• Nombres rationnels : Ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$, où a et b sont des entiers relatifs avec b ≠ 0.

💡 Astuce mémo

De ℕ vers ℝ : naturels, relatifs, décimaux, rationnels, réels

📖 3. Inclusions et nature des nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres irrationnels : Les nombres réels qui n’appartiennent pas à ℚ sont appelés nombres irrationnels, comme π et √2.

★ À maîtriser

📌 Les inclusions entre les ensembles numériques sont ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

📌 Déterminer la nature d’un nombre réel consiste à préciser le plus petit ensemble parmi ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ ou ℝ auquel il appartient.

Compléments

• Le schéma des ensembles numériques contient notamment 0, 3,47, −3, −1, −12, −0,4, 1/7, π, −2/9, −√3 et √2.

• Pour démontrer par l’absurde que 1/3 n’est pas un nombre décimal, on suppose que 1/3 est décimal et qu’il existe un entier relatif a et un entier naturel n tels que $\frac{1}{3} = \frac{a}{10^n}$.

💡 Astuce mémo

ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ

📖 4. Encadrement décimal

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement décimal : Un encadrement décimal de x à 10⁻ⁿ près consiste à trouver deux nombres décimaux a et b tels que $a < x < b$ et $b-a=10^{-n}$.
• Amplitude de l’encadrement : Le nombre b − a est appelé l’amplitude de l’encadrement décimal de x.

📝 Points essentiels

• Un encadrement à 10⁻³ près est aussi appelé un encadrement au millième, un encadrement à 10⁻² près un encadrement au centième, et un encadrement à 10⁻¹ près un encadrement au dixième.

💡 Astuce mémo

L’amplitude b − a mesure la précision de l’encadrement