QCM : Nombres réels et encadrements — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour l’encadrement 4,31 < x < 4,32, quelle est son amplitude et comment le qualifier ?

Son amplitude est 0,001 ; c’est un encadrement au millième
Son amplitude est 8,63 ; c’est un encadrement à l’unité
Son amplitude est 0,1 ; c’est un encadrement au dixième
Son amplitude est 0,01 ; c’est un encadrement au centième

Son amplitude est 0,01 ; c’est un encadrement au centième

Explication

L’amplitude se calcule en soustrayant la borne inférieure de la borne supérieure : 4,32 − 4,31 = 0,01 = 10⁻², ce qui correspond à un encadrement au centième. Une amplitude de 0,1 correspondrait au dixième, tandis que 0,001 correspondrait au millième.

2. Pour déterminer la nature d’un nombre réel, quelle démarche faut-il suivre ?

Vérifier d’abord si le nombre est positif, puis choisir un ensemble adapté à son signe.
Chercher le plus grand ensemble numérique contenant le nombre parmi ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ.
Le classer dans ℚ dès qu’il possède une écriture sous forme de fraction.
Chercher le plus petit ensemble parmi ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ auquel il appartient.

Chercher le plus petit ensemble parmi ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ auquel il appartient.

Explication

La nature d’un réel est déterminée par le plus petit ensemble numérique auquel il appartient. Choisir le plus grand ensemble ferait perdre l’information précise apportée par les inclusions successives.

3. Quelle égalité décrit correctement l’ensemble des nombres réels non nuls ?

ℝ* = ℝ \ {0}
ℝ* = ℝ ∪ {0}
ℝ* = ℚ \ {0}
ℝ* = ℝ \ {1}

ℝ* = ℝ \ {0}

Explication

Les réels non nuls sont obtenus en retirant zéro de ℝ, ce qui donne ℝ* = ℝ \ {0}. Retirer zéro de ℚ ne décrit pas l’ensemble de tous les réels non nuls.

4. Que signifie encadrer un nombre réel x à 10⁻ⁿ près ?

Trouver deux décimaux a et b tels qu'a < x < b et b − a = 10⁻ⁿ
Trouver deux décimaux a et b tels qu'a < x < b et a + b = 10⁻ⁿ
Trouver deux décimaux a et b tels qu'a < x < b et b − a = 10ⁿ
Trouver deux décimaux a et b tels que x < a < b et b − a = 10⁻ⁿ

Trouver deux décimaux a et b tels qu'a < x < b et b − a = 10⁻ⁿ

Explication

Un encadrement décimal à 10⁻ⁿ près exige que x soit situé entre deux bornes a et b, avec une amplitude b − a égale à 10⁻ⁿ. La relation x < a < b inverse la position de x par rapport aux bornes et ne constitue donc pas un encadrement de x.

5. Lequel de ces nombres est décimal au sens de l’écriture a/10ⁿ ?

1/3
π
−0,4
√2

−0,4

Explication

−0,4 s’écrit −4/10, avec un entier relatif au numérateur et une puissance de 10 au dénominateur. 1/3, π et √2 ne sont pas présentés sous cette forme décimale finie.

6. Quelle chaîne d’inclusions entre les ensembles numériques est correcte ?

ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ
ℕ ⊂ 𝔻 ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
ℝ ⊂ ℚ ⊂ 𝔻 ⊂ ℤ ⊂ ℕ
ℤ ⊂ ℕ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ

ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Explication

Chaque entier naturel est entier relatif, chaque entier relatif est décimal, chaque décimal est rationnel, et chaque rationnel est réel. L’inclusion ℤ ⊂ ℕ est fausse puisque ℤ contient des entiers négatifs.

7. Lequel de ces nombres appartient à ℕ mais pas à ℤ ?

Aucun de ces nombres
0
−3
2

Aucun de ces nombres

Explication

Tout élément de ℕ appartient aussi à ℤ, car ℕ est inclus dans ℤ. Les nombres −3, 0 et 2 appartiennent tous à ℤ, et 0 ainsi que 2 appartiennent également à ℕ.

8. Lequel de ces nombres est irrationnel ?

3,47
√2
1/7
−2/9

√2

Explication

√2 est un réel qui n’appartient pas à ℚ : c’est donc un nombre irrationnel. Les nombres 1/7, −2/9 et 3,47 sont rationnels, ce dernier étant même décimal.

9. Quel ensemble contient à la fois les entiers négatifs, zéro et les entiers positifs ?

L’ensemble ℚ des nombres rationnels
L’ensemble ℕ des entiers naturels
L’ensemble 𝔻 des nombres décimaux
L’ensemble ℤ des entiers relatifs

L’ensemble ℤ des entiers relatifs

Explication

ℤ regroupe les entiers négatifs, zéro et les entiers positifs. ℕ ne contient pas les entiers négatifs, tandis que 𝔻 et ℚ sont des ensembles plus larges définis par des formes d’écriture.

10. Quel ensemble est formé par les abscisses des points d’une droite graduée ?

L’ensemble des nombres réels ℝ
L’ensemble des entiers relatifs ℤ
L’ensemble des rationnels ℚ
L’ensemble des réels non nuls ℝ*

L’ensemble des nombres réels ℝ

Explication

Les abscisses des points d’une droite graduée constituent l’ensemble des nombres réels, noté ℝ. L’ensemble ℝ* correspond aux réels privés de zéro, et non à tous les réels.

11. Quelle condition caractérise un nombre rationnel ?

Il possède une écriture décimale finie avec un chiffre avant la virgule.
Il s’écrit a/b avec a et b entiers relatifs et b différent de zéro.
Il s’écrit a/10ⁿ avec a entier relatif et n entier naturel.
Il est représenté par une abscisse entière sur une droite graduée.

Il s’écrit a/b avec a et b entiers relatifs et b différent de zéro.

Explication

Un rationnel peut s’écrire comme le quotient de deux entiers relatifs, avec un dénominateur non nul. L’écriture a/10ⁿ caractérise les nombres décimaux, qui constituent un sous-ensemble des rationnels.

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Qu'appelle-t-on l'ensemble des nombres réels ?

L'ensemble des abscisses des points d'une droite graduée.

Comment s'appelle la droite graduée des nombres réels ?

La droite des réels, la droite réelle ou la droite numérique.

Comment se note l'ensemble des réels non nuls ?

ℝ*

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