Fiche de révision : Nombres réels et inéquations

📋 Plan du Cours

1. Encadrement et valeurs approchées
2. Intervalles de la droite réelle
3. Réunion et intersection
4. Valeur absolue et distance
5. Opérations sur les inégalités
6. Résolution des inéquations

📖 1. Encadrement et valeurs approchées

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement décimal : Un encadrement du nombre réel x à $10^{-n}$ près est un encadrement $a \leq x \leq b$ où a et b sont deux nombres décimaux tels que $b-a=10^{-n}$.
• Valeur approchée : Une valeur approchée d’un réel x à $10^{-n}$ près est un nombre décimal d dont l’écart avec x est au plus $10^{-n}$.

📝 Points essentiels

• Pour obtenir un encadrement décimal de $\frac{2}{3}$ à $10^{-2}$ près, il faut rechercher deux nombres décimaux distants de $10^{-2}$ qui encadrent $\frac{2}{3}$.

💡 Astuce mémo

Encadrement : deux bornes qui enferment x ; valeur approchée : un nombre qui l’estime.

📖 2. Intervalles de la droite réelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle de R : Une partie de R qui correspond à une portion de la droite des réels.

★ À maîtriser

📌 Dans [1 ; 4], les bornes 1 et 4 sont incluses, tandis que dans [1 ; 4[, 1 est inclus et 4 est exclu.

• Pour traduire une inégalité en intervalle, on identifie chaque borne, puis on utilise un crochet fermé si la borne est incluse et un crochet ouvert si elle est exclue.

Compléments

• L’ensemble des réels x tels que x ≤ 2 est l’intervalle ]−∞ ; 2].

• L’ensemble des nombres réels est l’intervalle ]−∞ ; +∞[.

💡 Astuce mémo

Visualiser chaque intervalle comme une portion de droite avec des bornes incluses ou exclues.

📖 3. Réunion et intersection

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : L’ensemble des nombres réels appartenant à la fois à I et à J, notée $I \cap J$.
• Réunion : L’ensemble des nombres réels appartenant à I ou à J, notée $I \cup J$, le « ou » n’étant pas exclusif.

📝 Points essentiels

• Si I=[−1 ; 4] et J=]2 ; +∞[, alors $I \cap J=]2 ; 4]$ et $I \cup J=[−1 ; +∞[$.

• Si I=]−2 ; 3[ et J=[4 ; +∞[, alors $I \cap J=\varnothing$ et $I \cup J=]−2 ; 3[ \cup [4 ; +∞[$.

💡 Astuce mémo

Intersection = à la fois ; réunion = au moins l’un des deux.

📖 4. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La distance entre le point d’abscisse ce réel et l’origine de la droite graduée.

★ À maîtriser

📌 Pour un réel positif r, l’ensemble des réels x vérifiant $|x-a|\leq r$ est l’intervalle [a−r ; a+r].

Compléments

• On a $|-3|=3$ et $|18{,}4|=18{,}4$.

💡 Astuce mémo

La valeur absolue représente la distance entre un point et l’origine sur une droite graduée.

📖 5. Opérations sur les inégalités

★ À maîtriser

• Ajouter ou soustraire un même réel à chaque membre d’une inégalité conserve l’ordre : $a<b\Longleftrightarrow a+c<b+c$ et $a<b\Longleftrightarrow a-c<b-c$.

• Multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement positif conserve l’ordre.

• Multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement négatif inverse l’ordre.

Compléments

📌 On peut additionner membre à membre des inégalités de même sens : si $a<x<b$ et $c<y<d$, alors $a+c<x+y<b+d$.

💡 Astuce mémo

Multiplier par un positif conserve l’ordre ; multiplier par un négatif l’inverse.

📖 6. Résolution des inéquations

★ À maîtriser

• Pour tester si un nombre est solution d’une inéquation, on calcule séparément les membres de gauche et de droite puis on vérifie si l’inégalité est satisfaite.

• Pour résoudre une inéquation du premier degré, on applique les propriétés des inégalités afin d’isoler l’inconnue.

Compléments

• La résolution de $6x−2\leq 3x+4$ consiste à appliquer les opérations autorisées sur les inégalités pour isoler x.

• Tous les nombres écrits sous forme de fraction ne sont pas des nombres décimaux.

💡 Astuce mémo

Tester, transformer, isoler l’inconnue.

📊 Tableaux de synthèse

Réunion et intersection