QCM : Nombres réels et inéquations — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que devient l’inégalité −3x<12-3x<12 après division de ses deux membres par −3-3 ?

x≥−4x\geq -4
x<−4x<-4
x≤−4x\leq -4
x>−4x>-4

$$x>-4$$

Explication

La division par −3-3, nombre strictement négatif, inverse le sens de l’inégalité et conduit à x>−4x>-4. Conserver le signe donnerait à tort x<−4x<-4, confusion fréquente dans cette opération.

2. Quel ensemble décrit les solutions de ∣x−4∣≤3|x-4|\leq 3 ?

L’extérieur de l’intervalle [1 ; 7][1\,;\,7]
L’intervalle [1 ; 7][1\,;\,7]
L’intervalle [−3 ; 4][-3\,;\,4]
L’extérieur de l’intervalle [−3 ; 4][-3\,;\,4]

L’intervalle $$[1\,;\,7]$$

Explication

Une distance à 44 inférieure ou égale à 33 donne l’intervalle centré en 44, de bornes 4−3=14-3=1 et 4+3=74+3=7. L’extérieur de cet intervalle correspondrait à une inégalité de type ∣x−4∣≥3|x-4|\geq 3.

3. Quelle propriété doit vérifier un nombre décimal dd pour être une valeur approchée de xx à 10−n10^{-n} près ?

Il doit être l’une des deux bornes d’un intervalle contenant xx.
Son écart avec xx doit être inférieur ou égal à 10−n10^{-n}.
Son écart avec xx doit être égal à 10n10^{n}.
Il doit encadrer xx avec un autre décimal distant de 10−n10^{-n}.

Son écart avec $$x$$ doit être inférieur ou égal à $$10^{-n}$$.

Explication

Une valeur approchée dd convient lorsque la distance entre dd et xx ne dépasse pas 10−n10^{-n}. L’existence de deux bornes distantes de cette quantité concerne un encadrement, qui est une notion différente.

4. Que représente la valeur absolue d’un réel sur une droite graduée ?

La distance entre son point et l’origine
La coordonnée signée de son point
Le sens de déplacement depuis l’origine
La distance entre son point et le point unité

La distance entre son point et l’origine

Explication

La valeur absolue mesure la distance entre le point d’abscisse du réel et l’origine, ce qui explique qu’elle soit positive ou nulle. La coordonnée signée, elle, peut être négative et ne représente donc pas directement cette distance.

5. Comment traduit-on une inégalité sous forme d’intervalle ?

On repère les bornes et on ferme le crochet lorsque la borne est incluse, puis on l’ouvre lorsqu’elle est exclue.
On utilise un crochet ouvert pour une borne incluse et un crochet fermé pour une borne exclue.
On écrit d’abord les bornes dans l’ordre inverse, puis on choisit les crochets selon leur valeur.
On remplace chaque borne par un crochet fermé, quelle que soit son appartenance à l’ensemble.

On repère les bornes et on ferme le crochet lorsque la borne est incluse, puis on l’ouvre lorsqu’elle est exclue.

Explication

La traduction repose sur l’identification des bornes et sur le choix du crochet selon que chaque borne appartient ou non à l’ensemble. Inverser la signification des crochets ou les fermer systématiquement conduit à une représentation incorrecte.

6. Quelle condition caractérise un encadrement décimal du réel xx à 10−n10^{-n} près ?

Il existe deux décimaux aa et bb tels que a≤x≤ba \leq x \leq b et b−a=10−nb-a=10^{-n}.
Il existe un décimal aa tel que x−a=10−nx-a=10^{-n}.
Il existe deux décimaux aa et bb tels que a<x<ba < x < b et b−a=10nb-a=10^{n}.
Il existe deux réels aa et bb tels que a≤x≤ba \leq x \leq b et b−a=nb-a=n.

Il existe deux décimaux $$a$$ et $$b$$ tels que $$a \leq x \leq b$$ et $$b-a=10^{-n}$$.

Explication

Un tel encadrement place xx entre deux nombres décimaux dont la différence vaut précisément 10−n10^{-n}. La simple présence de deux bornes ou une différence liée à nn ne suffit pas à respecter cette définition.

7. Quelle différence existe-t-il entre les intervalles [1 ;4][1\ ;4] et [1 ;4[[1\ ;4[ ?

Le premier contient les nombres entiers, tandis que le second contient les décimaux.
Le premier contient 44, tandis que le second ne contient pas 44.
Le premier ne contient pas 11, tandis que le second contient 11.
Le premier exclut 44, tandis que le second contient 44.

Le premier contient $$4$$, tandis que le second ne contient pas $$4$$.

Explication

Le crochet fermé en 44 dans [1 ;4][1\ ;4] signifie que cette borne appartient à l’intervalle, tandis que le crochet ouvert dans [1 ;4[[1\ ;4[ l’exclut. Dans les deux intervalles, la borne 11 est incluse.

8. Que devient le sens de l’inégalité 2x<102x<10 lorsqu’on divise ses deux membres par 22 ?

Il devient une égalité : x=5x=5
Il reste inchangé : x<5x<5
Il disparaît : x≤5x\leq 5
Il s’inverse : x>5x>5

Il reste inchangé : $$x<5$$

Explication

La division par 22, qui est strictement positif, conserve le sens de l’inégalité et donne x<5x<5. Le sens s’inverserait avec une division par un nombre strictement négatif.

9. Qu’est-ce qu’un intervalle de R\mathbb{R} ?

Une paire de bornes séparées par une distance fixée.
Une partie de R\mathbb{R} correspondant à une portion de la droite des réels.
Une partie de R\mathbb{R} contenant deux extrémités distinctes.
Un ensemble de nombres entiers compris entre deux valeurs données.

Une partie de $$\mathbb{R}$$ correspondant à une portion de la droite des réels.

Explication

Un intervalle est défini comme une portion de la droite des réels, donc comme une partie de R\mathbb{R}. Il ne se réduit ni à un ensemble d’entiers ni à ses seules bornes.

10. Comment vérifier qu’un nombre donné est solution d’une inéquation ?

Calculer séparément les deux membres puis comparer leurs valeurs
Isoler l’inconnue afin d’obtenir toutes les solutions possibles
Remplacer l’inconnue par zéro puis observer le résultat
Transformer l’inéquation en égalité avant de calculer

Calculer séparément les deux membres puis comparer leurs valeurs

Explication

Pour tester un nombre, on le substitue dans l’inéquation, puis on calcule séparément les membres gauche et droit afin de vérifier le sens demandé. Cette démarche vérifie une valeur particulière et ne détermine pas l’ensemble des solutions.

11. Quelle démarche permet de résoudre une inéquation du premier degré ?

Remplacer l’inégalité par une égalité puis garder la même réponse
Tester quelques nombres sans transformer l’inéquation
Calculer les deux membres pour une seule valeur choisie
Appliquer les propriétés des inégalités pour isoler l’inconnue

Appliquer les propriétés des inégalités pour isoler l’inconnue

Explication

Résoudre une inéquation du premier degré consiste à utiliser les opérations autorisées pour isoler l’inconnue et obtenir l’ensemble des valeurs admissibles. Tester un nombre ne fournit qu’une vérification ponctuelle et ne remplace pas cette résolution.

12. Que représente la réunion de deux intervalles II et JJ ?

L’ensemble des bornes et des extrémités communes aux intervalles II et JJ.
L’ensemble des réels appartenant à un seul des deux intervalles, mais pas aux deux.
L’ensemble des réels appartenant simultanément à II et à JJ.
L’ensemble des réels appartenant à II ou à JJ, avec possibilité d’appartenir aux deux.

L’ensemble des réels appartenant à $$I$$ ou à $$J$$, avec possibilité d’appartenir aux deux.

Explication

La réunion I∪JI \cup J rassemble les réels qui appartiennent à au moins l’un des deux intervalles, y compris ceux qui appartiennent aux deux. L’appartenance simultanée correspond à l’intersection, tandis que l’appartenance à un seul intervalle correspond au « ou » exclusif.

13. Quelle transformation conserve le sens de l’inégalité a<ba<b ?

Remplacer chaque membre par son opposé
Soustraire un même réel aux deux membres
Multiplier les deux membres par un réel négatif
Diviser les deux membres par un réel négatif

Soustraire un même réel aux deux membres

Explication

Ajouter ou soustraire un même réel aux deux membres conserve l’ordre entre eux. Une multiplication ou une division par un nombre négatif inverse en revanche le sens de l’inégalité, notamment lors du remplacement par les opposés.

14. Que représente l’intersection de deux intervalles II et JJ ?

L’ensemble des réels appartenant à la fois à II et à JJ.
L’ensemble des réels situés entre la plus petite borne et la plus grande borne.
L’ensemble des bornes communes aux intervalles II et JJ.
L’ensemble des réels appartenant à II ou à JJ, y compris à un seul des deux.

L’ensemble des réels appartenant à la fois à $$I$$ et à $$J$$.

Explication

L’intersection I∩JI \cap J conserve les réels qui appartiennent simultanément aux deux intervalles. La condition « dans II ou dans JJ » décrit la réunion, et non l’intersection.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 32 flashcards sur Nombres réels et inéquations.

Qu'est-ce qu'un encadrement décimal d'un réel x à 10−n10^{-n} près ?

C'est un encadrement a≤x≤ba \leq x \leq b avec b−a=10−nb - a = 10^{-n} et a, b décimaux.

Que faut-il rechercher pour encadrer 23\frac{2}{3} à 10−210^{-2} près ?

Deux nombres décimaux distants de 10−210^{-2} qui encadrent 23\frac{2}{3}.

Qu'est-ce qu'une valeur approchée d'un réel x à 10−n10^{-n} près ?

Un nombre décimal d avec un écart à x au plus égal à 10−n10^{-n}.

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