Fiche de révision : Nombres réels et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres et inclusions
2. Nombres décimaux et rationnels
3. Nombres réels et irrationnels
4. Intervalles et droite réelle
5. Unions d’intervalles
6. Encadrement et arrondi

📖 1. Ensembles de nombres et inclusions

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Un nombre qui peut s’écrire avec une partie entière et une partie décimale finie ou infinie.
• Entiers naturels : Les nombres de l’ensemble ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}.
• Entiers relatifs : Les nombres de l’ensemble ℤ = {… ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}.

★ À maîtriser

📌 Les ensembles de nombres sont inclus selon la chaîne ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Compléments

• ℝ* ou ℝ \ {0} désigne l’ensemble des réels différents de 0, et ℝ \ {1 ; 2} celui des réels différents de 1 et de 2.

💡 Astuce mémo

Les ensembles s’emboîtent dans l’ordre ℕ → ℤ → 𝔻 → ℚ → ℝ.

📖 2. Nombres décimaux et rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : Un nombre dont la partie décimale est finie et qui peut s’écrire $\frac{a}{10^n}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$.
• Nombres rationnels : Un nombre qui peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ où $a,b \in \mathbb{Z}$ et $b \ne 0$.

★ À maîtriser

📌 Tout entier relatif est décimal, tout décimal est rationnel, mais certains rationnels comme $\frac{1}{3}$ ne sont pas décimaux.

Compléments

📐 Formule - Un nombre est décimal si et seulement s’il peut s’écrire $\frac{a}{2^m \times 5^p}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $m,p \in \mathbb{N}$.

• Tout nombre rationnel non nul admet une unique écriture fractionnaire irréductible $\frac{p}{q}$, où $p,q \in \mathbb{Z}$, $q > 0$ et 1 est leur seul diviseur commun positif.

• Un nombre rationnel admet un développement décimal périodique à partir d’un certain rang, comme 5,1212… .

💡 Astuce mémo

Décimal : écriture finie ; rationnel : écriture fractionnaire.

📖 3. Nombres réels et irrationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres irrationnels : Un nombre réel qui ne peut pas s’écrire sous forme fractionnaire.

📝 Points essentiels

• π est la longueur du cercle de diamètre 1 et est un nombre irrationnel.

• √2 est la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1 et est un nombre irrationnel.

• Les nombres réels permettent d’attribuer une mesure à toute grandeur, notamment géométrique.

📖 4. Intervalles et droite réelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle fermé : L’ensemble des nombres compris entre a et b, bornes incluses.
• Intervalle ouvert : L’ensemble des nombres compris entre a et b, bornes exclues.

★ À maîtriser

• À tout point d’une droite graduée correspond un unique nombre réel, son abscisse, et à tout nombre réel correspond un unique point de cette droite.

📌 Dans un intervalle, les crochets du côté de +∞ ou de −∞ sont toujours ouverts, car l’infini ne peut pas être atteint.

Compléments

• Les symboles +∞ et −∞ désignent les infinis positif et négatif et ne sont pas des nombres réels.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : borne incluse ; crochet ouvert : borne exclue.

📖 5. Unions d’intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Union d’intervalles : L’ensemble des nombres appartenant à l’un ou à l’autre de deux intervalles, noté avec le symbole ∪.

📝 Points essentiels

• L’ensemble défini par x < 2 ou x ≥ 5 s’écrit ]−∞ ; 2[ ∪ [5 ; +∞[.

• L’ensemble des réels non nuls s’écrit ℝ* = ℝ \ {0} = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[.

💡 Astuce mémo

Sur la droite, deux portions séparées restent reliées par le signe ∪.

📖 6. Encadrement et arrondi

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement décimal : Une écriture $d_1 \le x \le d_2$ où d₁ et d₂ sont des nombres décimaux, et son amplitude est $d_2-d_1$.
• Arrondi à une précision : Lorsque d₁ et d₂ ont n chiffres après la virgule et que $d_2-d_1=10^{-n}$, la borne d₁ ou d₂ la plus proche de x.
• Amplitude d’un encadrement : La différence $d_2-d_1$.

📝 Points essentiels

📌 Si d₁ et d₂ sont à égale distance de x, l’arrondi à $10^{-n}$ est d₂, ce qui correspond à un arrondi par excès.

• L’arrondi de 2,3465 au millième est 2,347.

📌 Lorsqu’on multiplie des grandeurs, le résultat ne peut pas contenir plus de chiffres significatifs que chacune des grandeurs.

💡 Astuce mémo

Des bornes plus proches donnent une amplitude plus petite et un arrondi plus précis.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles de nombres