Fiche de révision : Nombres réels et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres
2. Nombres réels et classification
3. Intervalles réels
4. Inéquations et opérations sur les ensembles
5. Valeur absolue et distance
6. Vecteurs nuls et opposés
7. Somme et représentants des vecteurs
8. Égalité et caractérisation géométrique
9. Produit d’un vecteur par un réel
10. Coordonnées des vecteurs

📖 1. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Un entier positif et l’ensemble des entiers naturels, noté ℕ, est {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; …}.
• Entiers relatifs : Un entier positif ou négatif et l’ensemble des entiers relatifs, noté ℤ, est {… ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}.
• Nombres décimaux : S’écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule, et l’ensemble de ces nombres est noté 𝔻.
• Nombres rationnels : Une fraction, et l’ensemble des nombres rationnels est noté ℚ.
• Fraction : S’écrit sous la forme d’un quotient a/b, où a est un entier et b un entier non nul.

📝 Points essentiels

• Un nombre décimal peut toujours s’écrire comme la fraction d’un entier et d’une puissance de 10, par exemple 2,36 = 236/100 = 236/10².

📖 2. Nombres réels et classification

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres irrationnels : Ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction.
• Nombres réels : Un nombre rationnel ou irrationnel, et l’ensemble des nombres réels est noté ℝ.

★ À maîtriser

• Tout nombre appartenant à ℕ appartient aussi à ℤ, et les ensembles de nombres vérifient ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Compléments

• √2, √3 et π sont des nombres irrationnels.

• Un nombre réel est l’abscisse d’un point d’une droite graduée appelée droite numérique.

• Dans la classification par le plus petit ensemble, −1/4, 1,333 et −3(√2)²/12 appartiennent à 𝔻 ; 2/6 appartient à ℚ ; √36 appartient à ℕ ; √6 appartient à ℝ.

• Un encadrement à 10⁻³ est 1,414 < √2 < 1,415 et 1,732 < √3 < 1,733.

📖 3. Intervalles réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : L’ensemble des nombres réels x tels que 2 ≤ x ≤ 4 est l’intervalle [2 ; 4].

★ À maîtriser

📌 Un intervalle est fermé si ses extrémités lui appartiennent et ouvert si ses extrémités ne lui appartiennent pas.

• Les inégalités −1 < x ≤ 3, 0 < x < 2, x ≥ 2 et x ≤ 3 se notent respectivement ]−1 ; 3], ]0 ; 2[, [2 ; +∞[ et ]−∞ ; 3].

Compléments

• L’ensemble ℝ peut se noter ]−∞ ; +∞[.

• L’intervalle [−2 ; 5] est fermé et contient ses deux extrémités, tandis que ]2 ; 6[ est ouvert et ne contient ni 2 ni 6.

💡 Astuce mémo

Crochets fermés : extrémités incluses ; crochets ouverts : extrémités exclues.

📖 4. Inéquations et opérations sur les ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation : Une inégalité qui contient une inconnue x.
• Résolution d’une inéquation : Trouver toutes les valeurs de x qui vérifient l’inégalité, puis à représenter l’ensemble des solutions à l’aide d’intervalles.
• Intersection : Contient les éléments qui appartiennent à A et à B.
• Réunion : Contient les éléments qui appartiennent à A ou à B.

📝 Points essentiels

• La résolution de 2x − 3 < 4 donne x < 7/2 et l’ensemble solution S = ]−∞ ; 7/2[.

• Pour A = {1 ; 2} et B = {1 ; 3 ; 4}, A ∩ B = {1} et A ∪ B = {1 ; 2 ; 3 ; 4}.

📖 5. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Ce nombre sans son signe, par exemple |−5| = 5 et |5| = 5.

★ À maîtriser

• La distance entre deux points A et B d’abscisses a et b sur une droite graduée est $|a-b|$.

Compléments

• La distance entre 1,5 et 4 est |1,5 − 4| = |−2,5| = 2,5.

• Pour résoudre |x − 5| = 2, on résout x − 5 = 2 ou x − 5 = −2, ce qui donne x = 7 ou x = 3 et S = {3 ; 7}.

• L’ensemble solution de |x − 5| ≤ 2 est [3 ; 7].

💡 Astuce mémo

Sur une droite graduée, |a − b| est la longueur du segment entre a et b.

📖 6. Vecteurs nuls et opposés

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur nul : Un vecteur \overrightarrow{AB} est nul lorsque les points A et B sont confondus, et se note \overrightarrow{AB} = \vec{0}.

★ À maîtriser

📌 Deux vecteurs opposés ont la même direction et la même longueur, mais des sens contraires ; ainsi, \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}.

Compléments

• Pour tout point M, \overrightarrow{MM} = \vec{0}.

💡 Astuce mémo

Même direction et longueur, mais sens contraire : les vecteurs sont opposés.

📖 7. Somme et représentants des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de vecteurs : Le vecteur associé à la translation composée des translations de vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

★ À maîtriser

• La composée de deux translations est une translation.

Compléments

• Un même vecteur peut être représenté par plusieurs couples de points, par exemple $\overrightarrow{AA'}$, $\overrightarrow{BB'}$ et $\overrightarrow{CC'}$ peuvent représenter $\vec{u}$.

• La longueur d’un vecteur est aussi appelée sa norme.

📖 8. Égalité et caractérisation géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Égalité de vecteurs : Lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.

★ À maîtriser

📌 Pour quatre points A, B, C et D deux à deux distincts, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ équivaut à dire que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.

Compléments

📌 B est le milieu du segment [AC] si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$.

📖 9. Produit d’un vecteur par un réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit par un réel : Pour un vecteur $\vec{u}\neq\vec{0}$ et un réel non nul k, le vecteur $k\vec{u}$ a la même direction que $\vec{u}$, le même sens si k>0 et le sens contraire si k<0, et une norme égale à |k| fois celle de $\vec{u}$.

📝 Points essentiels

📌 Si $\vec{u}=\vec{0}$ ou si k=0, alors $k\vec{u}=\vec{0}$.

💡 Astuce mémo

k positif : même sens ; k négatif : sens contraire.

📖 10. Coordonnées des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées d’un vecteur : Dans un repère $(O,\vec{i},\vec{j})$, si $\overrightarrow{OM}=\vec{u}$ et si M a pour coordonnées (x,y), alors $\vec{u}$ a pour coordonnées (x,y) et $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un repère, si A=(x_A,y_A) et B=(x_B,y_B), alors $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\,y_B-y_A).$

Compléments

📌 Deux vecteurs de coordonnées (x,y) et (x',y') sont égaux si et seulement si x=x' et y=y'.

📐 Formule - Si $\vec{u}=(x,y)$ et k est un réel, alors $k\vec{u}=(kx,\,ky).$