QCM : Nombres réels et intervalles (25 questions)

Explication

Les entiers naturels comprennent $0$ et les entiers positifs. $-2$ est négatif, tandis que $0,5$ et $\frac{1}{3}$ ne sont pas des entiers.

Explication

Un entier relatif peut être négatif, alors qu’un entier naturel est positif. $3,5$ et $\frac{3}{5}$ ne sont pas des entiers, tandis que $3$ est naturel.

Explication

Un nombre décimal possède une écriture avec un nombre fini de chiffres après la virgule ; $0,125$ en a trois. $\frac{1}{3}$ et $\frac{2}{7}$ ont des développements décimaux infinis, et $\sqrt{2}$ est irrationnel.

Explication

L’ensemble $\mathbb{Q}$ regroupe les nombres rationnels, qui s’écrivent comme des fractions. $\mathbb{R}$ désigne les réels, $\mathbb{D}$ les décimaux et $\mathbb{Z}$ les entiers relatifs.

Explication

Un nombre irrationnel ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction. Un nombre rationnel s’écrit comme une fraction ; les nombres décimaux et les entiers relatifs sont des catégories distinctes.

Explication

Les nombres réels comprennent les nombres rationnels et les nombres irrationnels. Les deux autres réponses excluent à tort l’une de ces catégories, et un réel n’est pas nécessairement entier.

Explication

Les ensembles suivent l’inclusion $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ : tout naturel appartient donc aussi à chacun des ensembles suivants. Interrompre la chaîne, l’inverser ou conditionner l’appartenance à un signe contredit ces inclusions.

Explication

Un intervalle est fermé lorsque ses extrémités lui appartiennent. Un intervalle ouvert exclut ses extrémités, un intervalle non borné n’a pas deux extrémités réelles, et un intervalle semi-ouvert n’inclut qu’une extrémité.

Explication

La condition $x\geq 2$ inclut 2 et rassemble les réels supérieurs à 2, ce qui se note $[2\ ;\ +\infty[$. La notation $]2\ ;\ +\infty[$ exclut 2, tandis que les deux intervalles commençant à $-\infty$ décrivent des valeurs inférieures à 2.

Explication

Une inéquation est une inégalité qui contient une inconnue $x$. Une égalité avec inconnue est une équation, une comparaison entre nombres connus ne comporte pas d’inconnue, et un intervalle peut représenter un ensemble solution sans être une inéquation.

Explication

Résoudre une inéquation consiste à trouver toutes les valeurs de $x$ qui vérifient l’inégalité, puis à représenter l’ensemble solution à l’aide d’intervalles. Une valeur isolée ne donne pas toutes les solutions, et les valeurs qui rendent l’inégalité fausse ne sont pas recherchées.

Explication

L’intersection contient les éléments qui appartiennent à $A$ et à $B$ ; le seul élément commun est donc $1$. L’ensemble $\{1;2;3;4\}$ correspond à la réunion, tandis que les autres ensembles écartent ou ajoutent des éléments qui ne conviennent pas.

Explication

La réunion rassemble les éléments qui appartiennent à $A$ ou à $B$, y compris ceux qui sont communs aux deux ensembles. La règle « à $A$ et à $B$ » décrit l’intersection, et les deux autres règles écartent une partie des éléments de la réunion.

Explication

La valeur absolue est le nombre sans son signe : $|-8|=8$. $-8$ conserve le signe, $0$ correspondrait à une différence nulle et $-16$ résulte d’un doublement erroné.

Explication

La distance entre les abscisses $a$ et $b$ vaut $|a-b|$ ; ici, $|-3-5|=|-8|=8$. $-8$ oublie la valeur absolue, $2$ provient d’une soustraction incorrecte des distances à zéro et $5$ est une abscisse, pas une distance entre les points.

Explication

Lorsque les points de départ et d’arrivée sont confondus, le vecteur est nul et se note $\vec{0}$. Les réponses faisant intervenir une longueur positive ou une longueur égale à 1 attribuent à tort un déplacement aux points confondus.

Explication

Les vecteurs opposés ont la même direction et la même longueur, avec des sens contraires ; ainsi, $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$. L’égalité des sens confond des vecteurs opposés avec des vecteurs égaux, tandis que les autres réponses modifient à tort la direction ou la longueur.

Explication

La composée de deux translations est elle-même une translation. Une rotation, une homothétie ou une symétrie centrale ne décrivent pas cette propriété générale.

Explication

La somme $\vec{u}+\vec{v}$ est le vecteur associé à la translation composée des translations de vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Les différences inversent ou modifient l’enchaînement, tandis que $\vec{v}$ seul omet la première translation.

Explication

Des vecteurs égaux ont même direction, même sens et même longueur ; ici, le sens contraire empêche l’égalité. La longueur et la direction seules ne suffisent pas, et ces caractéristiques correspondent à des vecteurs opposés.

Explication

Pour quatre points deux à deux distincts, l’égalité $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ équivaut au fait que $ABDC$ est un parallélogramme, éventuellement aplati. Un rectangle est une condition plus restrictive, l’ordre ABCD est différent et le cas aplati est admis.

Explication

Un coefficient négatif conserve la direction, inverse le sens et multiplie la norme par sa valeur absolue, ici 3. Une direction différente confond direction et sens ; le même sens néglige le signe négatif ; une norme réduite d’un tiers inverse l’effet de la multiplication.

Explication

Lorsque le coefficient est nul, le produit est le vecteur nul, quel que soit le vecteur initial. Le même sens correspond à un coefficient positif non nul, le sens contraire à un coefficient négatif, et la même norme ne découle pas de la règle du coefficient nul.

Explication

Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ s’obtiennent en faisant celles de B moins celles de A : $(4-(-2),-1-3)=(6,-4)$. Le résultat $(-6,4)$ inverse l’ordre des points, $(6,4)$ inverse seulement la soustraction des ordonnées, et $(2,2)$ additionne les coordonnées.

Explication

Comme $\overrightarrow{OM}=\vec{u}$, le vecteur a les mêmes coordonnées que M et s’écrit $x\vec{i}+y\vec{j}$, soit $3\vec{i}-2\vec{j}$. L’échange des coefficients confond les axes, le signe positif sur $\vec{j}$ omet la coordonnée négative, et les signes opposés décrivent le vecteur opposé.