QCM : Nombres réels et intervalles — 18 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel ensemble contient les entiers positifs ou nuls, notamment 00, 11 et 22 ?

L’ensemble des nombres décimaux D\mathbb{D}
L’ensemble des entiers naturels N\mathbb{N}
L’ensemble des entiers relatifs Z\mathbb{Z}
L’ensemble des nombres rationnels Q\mathbb{Q}

L’ensemble des entiers naturels $$\mathbb{N}$$

Explication

Les entiers naturels regroupent les entiers positifs ou nuls, donc ils comprennent 00. Les entiers positifs stricts excluraient 00, ce qui ne correspond pas à cette définition.

2. Lequel de ces nombres appartient à l’ensemble des entiers relatifs mais pas à l’ensemble des entiers naturels ?

66
00
−4-4
1212

$$-4$$

Explication

Les entiers relatifs comprennent les nombres négatifs, nuls et positifs, donc −4-4 appartient à Z\mathbb{Z}. Les entiers naturels ne contiennent pas les nombres négatifs.

3. Quelle condition caractérise un nombre décimal ?

Il possède une écriture décimale infinie avec une période.
Il peut s’écrire sous la forme ab\frac{a}{b} avec a∈Na\in\mathbb{N} et b∈Nb\in\mathbb{N}.
Il est nécessairement positif et compris entre 00 et 11.
Il peut s’écrire sous la forme a10n\frac{a}{10^n} avec a∈Za\in\mathbb{Z} et n∈Nn\in\mathbb{N}.

Il peut s’écrire sous la forme $$\frac{a}{10^n}$$ avec $$a\in\mathbb{Z}$$ et $$n\in\mathbb{N}$$.

Explication

Un nombre décimal s’écrit comme une fraction dont le dénominateur est une puissance de 1010, avec un numérateur entier. Une écriture fractionnaire quelconque caractérise les rationnels, pas nécessairement les décimaux.

4. Quelle propriété définit un nombre rationnel ?

Il possède une écriture décimale finie dans toute représentation.
Il s’écrit sous la forme ab\frac{a}{b} avec a∈Za\in\mathbb{Z}, b∈Zb\in\mathbb{Z} et b≠0b\neq0.
Il correspond à l’abscisse d’un point situé entre 00 et 11.
Il s’écrit sous la forme a10n\frac{a}{10^n} avec a∈Na\in\mathbb{N} et n∈Nn\in\mathbb{N}.

Il s’écrit sous la forme $$\frac{a}{b}$$ avec $$a\in\mathbb{Z}$$, $$b\in\mathbb{Z}$$ et $$b\neq0$$.

Explication

Un rationnel est une fraction de deux entiers dont le dénominateur est non nul. Une écriture avec une puissance de 1010 décrit plus précisément les nombres décimaux.

5. Pourquoi 13\frac{1}{3} n’est-il pas un nombre décimal ?

Parce que son dénominateur est différent d’une puissance de 22.
Parce qu’un nombre décimal ne peut pas être écrit comme une fraction.
Parce que son numérateur n’est pas un entier relatif.
Parce qu’une égalité 13=a10n\frac{1}{3}=\frac{a}{10^n} imposerait que 10n10^n soit multiple de 33.

Parce qu’une égalité $$\frac{1}{3}=\frac{a}{10^n}$$ imposerait que $$10^n$$ soit multiple de $$3$$.

Explication

Si 13=a10n\frac{1}{3}=\frac{a}{10^n}, alors 10n=3a10^n=3a, ce qui exigerait que 10n10^n soit divisible par 33. Or aucune puissance de 1010 n’est un multiple de 33.

6. Comment définit-on l’ensemble des nombres réels ?

Comme les nombres dont l’écriture décimale est terminée.
Comme les abscisses de tous les points d’une droite graduée.
Comme les nombres entiers positifs ou négatifs.
Comme les nombres qui s’écrivent avec deux entiers non nuls.

Comme les abscisses de tous les points d’une droite graduée.

Explication

Les nombres réels sont représentés par les abscisses de tous les points de la droite numérique. Cette définition inclut les rationnels et les irrationnels, et pas seulement les nombres à écriture décimale finie.

7. Comment appelle-t-on un nombre réel qui ne peut pas s’écrire comme le quotient de deux entiers ?

Un nombre irrationnel
Un nombre relatif
Un nombre naturel
Un nombre décimal

Un nombre irrationnel

Explication

Les nombres réels qui ne sont pas rationnels sont appelés nombres irrationnels. Les nombres décimaux, eux, peuvent s’écrire avec une puissance de 1010 au dénominateur et sont donc rationnels.

8. Quelle chaîne d’inclusions entre les ensembles numériques est correcte ?

N⊂D⊂Z⊂R⊂Q\mathbb{N}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}
Z⊂N⊂Q⊂D⊂R\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{R}
R⊂Q⊂D⊂Z⊂N\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$

Explication

Chaque entier naturel est relatif, chaque entier relatif est décimal, chaque décimal est rationnel et chaque rationnel est réel. La confusion fréquente consiste à inverser l’inclusion entre D\mathbb{D} et Q\mathbb{Q}.

9. Quel énoncé décrit correctement la relation entre les nombres décimaux et les nombres rationnels ?

Tout nombre rationnel est décimal, car toute fraction possède une écriture finie.
Tout nombre décimal est rationnel, car son dénominateur peut être une puissance de 1010.
Les nombres décimaux et rationnels sont deux ensembles sans élément commun.
Les nombres décimaux contiennent les rationnels, car leurs écritures sont plus générales.

Tout nombre décimal est rationnel, car son dénominateur peut être une puissance de $$10$$.

Explication

Un nombre décimal s’écrit sous la forme a10n\frac{a}{10^n}, qui est un quotient de deux entiers avec un dénominateur non nul; il est donc rationnel. En revanche, certains rationnels comme 13\frac{1}{3} ne sont pas décimaux.

10. Que représente un intervalle réel sur la droite numérique ?

Un ensemble de nombres entiers compris entre deux valeurs données
Une portion de droite limitée par deux points nécessairement inclus
Une liste de nombres décimaux classés selon leur ordre croissant
Une partie de la droite formée par des réels vérifiant des conditions entre des bornes

Une partie de la droite formée par des réels vérifiant des conditions entre des bornes

Explication

Un intervalle réel regroupe les nombres réels qui satisfont une ou plusieurs conditions entre des bornes. Une portion limitée par deux points ne signifie pas que ces deux bornes appartiennent à l’intervalle.

11. Dans la notation d’un intervalle, que signifie un crochet fermé placé du côté d’une borne réelle ?

La borne est exclue de l’intervalle
La borne appartient à l’intervalle
La borne doit être strictement positive
La borne représente une valeur infinie

La borne appartient à l’intervalle

Explication

Un crochet fermé indique que la borne réelle est incluse dans l’intervalle. Un crochet ouvert indique au contraire que cette borne n’en fait pas partie.

12. Quelle écriture décrit correctement les réels positifs ou nuls et les réels non nuls ?

R+=]0;+∞[\mathbb{R}^+ = ]0;+\infty[ et R∗=[0;+∞[\mathbb{R}^*= [0;+\infty[
R+=]−∞;0]\mathbb{R}^+ = ]-\infty;0] et R∗=[0;+∞[\mathbb{R}^*= [0;+\infty[
R+=[0;+∞[\mathbb{R}^+=[0;+\infty[ et R∗=]−∞;0[∪]0;+∞[\mathbb{R}^*=]-\infty;0[\cup]0;+\infty[
R+=]−∞;+∞[\mathbb{R}^+ = ]-\infty;+\infty[ et R∗=[0;+∞[\mathbb{R}^*= [0;+\infty[

$$\mathbb{R}^+=[0;+\infty[$$ et $$\mathbb{R}^*=]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$$

Explication

Les réels positifs ou nuls contiennent 0, tandis que les réels non nuls excluent 0 et comprennent les valeurs négatives et positives. La confusion fréquente consiste à retirer 0 de R+\mathbb{R}^+ ou à l’inclure dans R∗\mathbb{R}^*.

13. Quelle condition caractérise l’intersection de deux intervalles II et JJ ?

Un réel appartient à I∩JI\cap J s’il appartient à II et à JJ
Un réel appartient à I∩JI\cap J s’il est compris entre leurs bornes les plus éloignées
Un réel appartient à I∩JI\cap J s’il appartient à II ou à JJ
Un réel appartient à I∩JI\cap J s’il est extérieur à II et à JJ

Un réel appartient à $$I\cap J$$ s’il appartient à $$I$$ et à $$J$$

Explication

L’intersection conserve les réels communs aux deux intervalles, donc ceux qui appartiennent à II et à JJ. La condition « ou » décrit l’union, et non l’intersection.

14. Quelle est l’union des intervalles [−3;6][-3;6] et [−10;0][-10;0] ?

[−3;0][-3;0]
[0;6][0;6]
[−10;6][-10;6]
[−10;−3][-10;-3]

$$[-10;6]$$

Explication

L’union rassemble tous les réels appartenant à l’un ou à l’autre intervalle ; ici, elle s’étend de −10-10 à 66. L’intervalle [−3;0][-3;0] correspondrait à une partie commune, et non à l’ensemble réuni.

15. Dans un encadrement décimal a<x<ba<x<b, quelle relation décrit correctement les bornes et le nombre encadré ?

aa est inférieur à xx et bb est supérieur à xx
aa est inférieur à bb, mais leur position par rapport à xx est indéterminée
aa et bb sont égaux à xx avec des écritures différentes
aa est supérieur à xx et bb est inférieur à xx

$$a$$ est inférieur à $$x$$ et $$b$$ est supérieur à $$x$$

Explication

Un encadrement place le nombre xx entre deux décimaux : aa est en dessous et bb au-dessus. Le simple fait que a<ba<b ne suffit pas à préciser un encadrement sans la position de xx.

16. Quelle est l’amplitude de l’encadrement 12,37<x<12,4212,37<x<12,42 ?

x−12,37x-12,37
12,3712,37
12,4212,42
0,050,05

$$0,05$$

Explication

L’amplitude se calcule par la différence entre la borne supérieure et la borne inférieure : 12,42−12,37=0,0512,42-12,37=0,05. Le nombre xx est encadré, mais il ne sert pas à définir directement l’amplitude.

17. Un encadrement est à 10−310^{-3} près lorsque son amplitude vaut quelle valeur ?

0,10,1
0,0010,001
0,010,01
33

$$0,001$$

Explication

Par définition, être à 10−n10^{-n} près signifie que l’amplitude vaut 10−n10^{-n} ; pour n=3n=3, cela donne 10−3=0,00110^{-3}=0,001. La valeur 0,010,01 correspondrait à une précision de 10−210^{-2}.

18. Quel est l’arrondi de π\pi à 0,0010,001 près ?

3,1413,141
3,143,14
3,1423,142
3,1503,150

$$3,142$$

Explication

À 0,0010,001 près, la valeur approchée la plus proche de π\pi est 3,1423,142. La valeur 3,143,14 correspond à un arrondi à 0,010,01 près, moins précis.

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Que sont les entiers naturels notés N ?

Ce sont les entiers positifs ou nuls.

Que sont les entiers relatifs notés Z ?

Ce sont les entiers positifs, négatifs ou nuls.

Comment s'écrit un nombre décimal noté D ?

Sous la forme a10n\frac{a}{10^n} avec a∈Za \in Z et n∈Nn \in N.

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