QCM : Équations du second degré (20 questions)

Question 1

1. Quel trinôme ne peut pas être factorisé en facteurs du premier degré à coefficients réels ?

Un trinôme dont le discriminant est positif

Un trinôme dont le discriminant est nul

Un trinôme dont le discriminant est négatif

Un trinôme possédant deux racines réelles distinctes

Explication

Un discriminant négatif signifie que le trinôme n’a pas de racine réelle et qu’il ne se factorise donc pas sur les nombres réels. Les discriminants nul ou positif permettent une factorisation réelle fondée sur les racines.

Answer

Un trinôme dont le discriminant est négatif

Question 2

2. Quelle démarche permet de résoudre correctement une équation factorisée ?

Isoler le terme de degré deux, extraire sa racine, puis vérifier une valeur

Réduire les coefficients, additionner les facteurs, puis choisir la solution positive

Regrouper les termes, factoriser, appliquer le produit nul, puis écrire les solutions

Développer les facteurs, supprimer les termes constants, puis retenir une seule solution

Explication

La méthode consiste à regrouper les termes dans un membre, factoriser, appliquer la règle du produit nul et présenter l’ensemble des solutions. Extraire directement une racine ne correspond pas à la procédure générale d’une équation factorisée.

Answer

Regrouper les termes, factoriser, appliquer le produit nul, puis écrire les solutions

Question 3

3. Pour une équation du second degré dont le discriminant vérifie $\Delta>0$ , quelles sont les solutions ?

x_1=\frac{-b+\Delta}{2a}

et

x_2=\frac{-b-\Delta}{2a}

x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{a}

et

x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{a}

x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

et

x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

x_1=\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}

et

x_2=\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}

Explication

Lorsque $\Delta>0$ , les deux racines distinctes s’obtiennent avec $-b\pm\sqrt\Delta$ au numérateur et $2a$ au dénominateur. Le terme $\sqrt\Delta$ ne peut pas être remplacé par $\Delta$ , et le facteur $2$ du dénominateur doit être conservé.

Answer

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$ et $$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$

Question 4

4. Quel est le discriminant de l’équation $ax^2+bx+c=0$ ?

\Delta=b^2+4ac

\Delta=2b-4ac

\Delta=4ac-b^2

\Delta=b^2-4ac

Explication

Le discriminant d’un trinôme du second degré est calculé par $\Delta=b^2-4ac$ . L’expression $b^2+4ac$ modifie le signe du terme déterminant et ne correspond pas à la formule du discriminant.

Answer

$$\Delta=b^2-4ac$$

Question 5

5. Pour une équation $ax^2+bx+c=0$ ayant pour racines $x_1$ et $x_2$ , quelle relation donne leur somme ?

x_1+x_2=\frac{b}{a}

x_1+x_2=-\frac{c}{a}

x_1+x_2=\frac{c}{a}

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

Explication

La somme des racines est donnée par la relation de Viète $x_1+x_2=-\frac ba$ . Le quotient $\frac ca$ correspond au produit des racines et non à leur somme.

Answer

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$

Question 6

6. Quelle caractéristique distingue une équation complète d’une équation incomplète du second degré ?

Une équation complète ne contient pas de terme indépendant, tandis qu’une incomplète en contient un

Une équation complète possède

ax^2

,

bx

et

c

, tandis qu’une incomplète a

b=0

ou

c=0

Une équation complète a

a=0

, tandis qu’une incomplète conserve un coefficient

a\ne0

Une équation complète possède deux inconnues, tandis qu’une incomplète n’en possède qu’une

Explication

Les trois termes $ax^2$ , $bx$ et $c$ sont présents dans une équation complète. Dès qu’au moins l’un des coefficients $b$ ou $c$ est nul, l’équation est dite incomplète.

Answer

Une équation complète possède $$ax^2$$, $$bx$$ et $$c$$, tandis qu’une incomplète a $$b=0$$ ou $$c=0$$

Question 7

7. Pour une équation $ax^2+bx+c=0$ ayant pour racines $x_1$ et $x_2$ , quelle relation donne leur produit ?

x_1x_2=\frac{c}{a}

x_1x_2=\frac{b}{a}

x_1x_2=-\frac{c}{a}

x_1x_2=-\frac{b}{a}

Explication

Le produit des racines vérifie $x_1x_2=\frac ca$ , conformément aux relations entre les coefficients et les racines. La relation $-\frac ba$ concerne leur somme et non leur produit.

Answer

$$x_1x_2=\frac{c}{a}$$

Question 8

8. Quelle transformation permet de résoudre $(ax+b)^2=d$ lorsque $d>0$ ?

Écrire

ax+b=d^2

, puis isoler

x

Écrire

ax+b=\sqrt{-d}

, puis isoler

x

Écrire

ax+b=\frac{d}{2}

, puis isoler

x

Écrire

ax+b=\pm\sqrt{d}

, puis isoler

x

Explication

Pour $d>0$ , les deux nombres dont le carré vaut $d$ sont $\sqrt d$ et $-\sqrt d$ , d’où le signe $\pm$ . Remplacer cette étape par $ax+b=d^2$ ne donne pas les antécédents corrects de $d$ par la fonction carré.

Answer

Écrire $$ax+b=\pm\sqrt{d}$$, puis isoler $$x$$

Question 9

9. Quelle démarche respecte l’ordre de résolution d’une équation fractionnaire ?

Déterminer les valeurs interdites, éliminer les dénominateurs, résoudre, puis vérifier

Résoudre l’équation sans restriction, puis exclure les valeurs interdites à la fin

Développer les numérateurs, additionner les dénominateurs, puis choisir une solution

Remplacer les dénominateurs par zéro, factoriser l’équation, puis accepter chaque résultat

Explication

Il faut d’abord établir les conditions d’existence, puis utiliser un produit en croix ou un dénominateur commun avant de vérifier que les solutions obtenues ne sont pas interdites. Résoudre sans tenir compte des dénominateurs peut conserver une valeur qui rend l’équation indéfinie.

Answer

Déterminer les valeurs interdites, éliminer les dénominateurs, résoudre, puis vérifier

Question 10

10. Quelle valeur doit être exclue lors de la résolution d’une équation fractionnaire contenant le dénominateur $x-4$ ?

La valeur

x=-4

, car elle inverse le signe du dénominateur

La valeur

x=1

, car elle simplifie le dénominateur

La valeur

x=4

, car elle annule le dénominateur

La valeur

x=0

, car toute fraction interdit cette valeur

Explication

La valeur $x=4$ annule le dénominateur $x-4$ , donc l’expression n’est pas définie et cette valeur doit figurer parmi les conditions d’existence. Les autres valeurs ne sont pas interdites par ce dénominateur.

Answer

La valeur $$x=4$$, car elle annule le dénominateur

Question 11

11. Quelle transformation correspond à la factorisation d’une expression algébrique ?

Remplacer chaque facteur par sa valeur numérique

Transformer un produit de facteurs en somme de termes

Transformer une somme ou une différence en produit de facteurs

Réduire plusieurs monômes semblables en un seul terme

Explication

La factorisation réécrit une somme ou une différence sous la forme d’un produit de facteurs. Le développement réalise la transformation inverse, en transformant un produit en somme.

Answer

Transformer une somme ou une différence en produit de facteurs

Question 12

12. Que peut-on conclure lorsque le discriminant d’une équation du second degré vérifie $\Delta<0$ ?

L’équation possède une solution réelle égale à

\frac{-b}{2a}

L’équation possède une solution réelle double

L’équation possède deux solutions réelles distinctes

L’équation n’a aucune solution réelle

Explication

Un discriminant négatif indique que l’équation ne possède aucune racine réelle. La racine double $\frac{-b}{2a}$ apparaît lorsque $\Delta=0$ , tandis que $\Delta>0$ donne deux racines réelles distinctes.

Answer

L’équation n’a aucune solution réelle

Question 13

13. Quelle est la solution de l’équation $ax^2=0$ lorsque $a\ne0$ ?

Il n’existe aucune solution réelle

x=\pm\sqrt{a}

x=a

x=0

Explication

Comme $a\ne0$ , on peut diviser l’équation par $a$ et obtenir $x^2=0$ , donc $x=0$ . L’absence de terme constant ne conduit pas à une absence de solution réelle.

Answer

$$x^2-Sx+P=0$$

Answer

Aucune solution réelle

Answer

Parce que la mise en évidence de $$x$$ donne un produit nul contenant le facteur $$x$$

Answer

$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$, avec deux racines distinctes

Answer

Lorsque $$a\ne0$$ et que l’inconnue est $$x$$

Answer

Conclure qu’il n’y a pas de solution réelle

Answer

$$\left(a-b\right)\left(a+b\right)$$

Question 14

14. Quelle équation faut-il résoudre pour trouver deux nombres dont la somme vaut $S$ et le produit vaut $P$ ?

x^2-Sx+P=0

x^2+Sx+P=0

x^2-Px+S=0

x^2+Px-S=0

Explication

Les deux nombres recherchés sont les racines de l’équation $x^2-Sx+P=0$ , car leur somme vaut $S$ et leur produit vaut $P$ . Intervertir $S$ et $P$ change le rôle des deux données et ne conserve pas ces relations.

Question 15

15. Pour une équation de la forme $(ax+b)^2=d$ , combien de solutions réelles obtient-on lorsque $d<0$ ?

Aucune solution réelle

Deux solutions réelles

Une infinité de solutions réelles

Une solution réelle

Explication

Un carré réel ne peut pas être négatif, donc une valeur de $d<0$ rend l’équation impossible dans les réels. La présence de deux solutions correspond au cas $d>0$ , et non à ce cas.

Question 16

16. Pourquoi $x=0$ est-elle toujours une solution de $ax^2+bx=0$ ?

Parce que la mise en évidence de

x

donne un produit nul contenant le facteur

x

Parce que le coefficient du terme constant vaut toujours zéro dans cette équation

Parce que toute équation du second degré possède une racine nulle

Parce que les coefficients

a

et

b

doivent avoir la même valeur

Explication

En mettant $x$ en évidence, on obtient $x\left(ax+b\right)=0$ ; la règle du produit nul fournit donc la solution $x=0$ . Le fait d’être du second degré ne suffit pas à garantir une racine nulle pour une équation complète.

Question 17

17. Lorsque le discriminant d’un trinôme est strictement positif, quelle factorisation par ses racines est correcte ?

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

, avec deux racines distinctes

ax^2+bx+c=a(x+x_1)(x+x_2)

, avec des racines changées de signe

ax^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)

, sans le coefficient principal

ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2

, avec une racine double

Explication

Un discriminant strictement positif donne deux racines réelles distinctes, ce qui conduit à deux facteurs linéaires différents multipliés par $a$ . Un facteur répété correspond au cas où le discriminant est nul, et non au cas présent.

Question 18

18. Dans quelle condition une équation $ax^2+bx+c=0$ est-elle du second degré ?

Lorsque

a\ne0

et que l’inconnue est

x

Lorsque

b\ne0

et que le terme

ax^2

disparaît

Lorsque

a=0

et que le terme

bx

est présent

Lorsque

c\ne0

, quelle que soit la valeur de

a

Explication

Une équation du second degré possède la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$ . Si $a=0$ , le terme en $x^2$ disparaît et l’équation devient du premier degré.

Question 19

19. Pour résoudre $ax^2+c=0$ , que faut-il faire lorsque l’isolement conduit à $x^2=d$ avec $d<0$ ?

Conclure qu’il n’y a pas de solution réelle

Remplacer

d

par sa valeur absolue avant d’extraire la racine

Conclure que les deux solutions réelles sont

x=d

et

x=-d

Prendre

x=\sqrt{d}

comme unique solution réelle

Explication

Dans les nombres réels, le carré d’un nombre ne peut pas être négatif ; ainsi $x^2=d$ avec $d<0$ n’a aucune solution réelle. La formule $x=\pm\sqrt{d}$ s’applique lorsque $d$ est positif.

Question 20

20. Quelle factorisation est correcte pour l’expression $a^2-b^2$ ?

a\left(a-b\right)+b\left(a+b\right)

\left(a+b\right)^2

\left(a-b\right)\left(a+b\right)

\left(a-b\right)^2

Explication

La différence de deux carrés suit l’identité $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$ . Les carrés de sommes ou de différences comportent aussi un terme double, ce qui ne convient pas ici.

QCM : Équations du second degré (20 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quel trinôme ne peut pas être factorisé en facteurs du premier degré à coefficients réels ?

2. Quelle démarche permet de résoudre correctement une équation factorisée ?

3. Pour une équation du second degré dont le discriminant vérifie $\Delta>0$ , quelles sont les solutions ?

4. Quel est le discriminant de l’équation $ax^2+bx+c=0$ ?

5. Pour une équation $ax^2+bx+c=0$ ayant pour racines $x_1$ et $x_2$ , quelle relation donne leur somme ?

6. Quelle caractéristique distingue une équation complète d’une équation incomplète du second degré ?

7. Pour une équation $ax^2+bx+c=0$ ayant pour racines $x_1$ et $x_2$ , quelle relation donne leur produit ?

8. Quelle transformation permet de résoudre $(ax+b)^2=d$ lorsque $d>0$ ?

9. Quelle démarche respecte l’ordre de résolution d’une équation fractionnaire ?

10. Quelle valeur doit être exclue lors de la résolution d’une équation fractionnaire contenant le dénominateur $x-4$ ?

11. Quelle transformation correspond à la factorisation d’une expression algébrique ?

12. Que peut-on conclure lorsque le discriminant d’une équation du second degré vérifie $\Delta<0$ ?

13. Quelle est la solution de l’équation $ax^2=0$ lorsque $a\ne0$ ?

14. Quelle équation faut-il résoudre pour trouver deux nombres dont la somme vaut $S$ et le produit vaut $P$ ?

15. Pour une équation de la forme $(ax+b)^2=d$ , combien de solutions réelles obtient-on lorsque $d<0$ ?

16. Pourquoi $x=0$ est-elle toujours une solution de $ax^2+bx=0$ ?

17. Lorsque le discriminant d’un trinôme est strictement positif, quelle factorisation par ses racines est correcte ?

18. Dans quelle condition une équation $ax^2+bx+c=0$ est-elle du second degré ?

19. Pour résoudre $ax^2+c=0$ , que faut-il faire lorsque l’isolement conduit à $x^2=d$ avec $d<0$ ?

20. Quelle factorisation est correcte pour l’expression $a^2-b^2$ ?

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QCM : Équations du second degré (20 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quel trinôme ne peut pas être factorisé en facteurs du premier degré à coefficients réels ?

2. Quelle démarche permet de résoudre correctement une équation factorisée ?

3. Pour une équation du second degré dont le discriminant vérifie Δ>0\Delta>0Δ>0, quelles sont les solutions ?

4. Quel est le discriminant de l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 ?

5. Pour une équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 ayant pour racines x1x_1x1​ et x2x_2x2​, quelle relation donne leur somme ?

6. Quelle caractéristique distingue une équation complète d’une équation incomplète du second degré ?

7. Pour une équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 ayant pour racines x1x_1x1​ et x2x_2x2​, quelle relation donne leur produit ?

8. Quelle transformation permet de résoudre (ax+b)2=d(ax+b)^2=d(ax+b)2=d lorsque d>0d>0d>0 ?

9. Quelle démarche respecte l’ordre de résolution d’une équation fractionnaire ?

10. Quelle valeur doit être exclue lors de la résolution d’une équation fractionnaire contenant le dénominateur x−4x-4x−4 ?

11. Quelle transformation correspond à la factorisation d’une expression algébrique ?

12. Que peut-on conclure lorsque le discriminant d’une équation du second degré vérifie Δ<0\Delta<0Δ<0 ?

13. Quelle est la solution de l’équation ax2=0ax^2=0ax2=0 lorsque a≠0a\ne0a=0 ?

14. Quelle équation faut-il résoudre pour trouver deux nombres dont la somme vaut SSS et le produit vaut PPP ?

15. Pour une équation de la forme (ax+b)2=d(ax+b)^2=d(ax+b)2=d, combien de solutions réelles obtient-on lorsque d<0d<0d<0 ?

16. Pourquoi x=0x=0x=0 est-elle toujours une solution de ax2+bx=0ax^2+bx=0ax2+bx=0 ?

17. Lorsque le discriminant d’un trinôme est strictement positif, quelle factorisation par ses racines est correcte ?

18. Dans quelle condition une équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 est-elle du second degré ?

19. Pour résoudre ax2+c=0ax^2+c=0ax2+c=0, que faut-il faire lorsque l’isolement conduit à x2=dx^2=dx2=d avec d<0d<0d<0 ?

20. Quelle factorisation est correcte pour l’expression a2−b2a^2-b^2a2−b2 ?

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3. Pour une équation du second degré dont le discriminant vérifie $\Delta>0$ , quelles sont les solutions ?

4. Quel est le discriminant de l’équation $ax^2+bx+c=0$ ?

5. Pour une équation $ax^2+bx+c=0$ ayant pour racines $x_1$ et $x_2$ , quelle relation donne leur somme ?

7. Pour une équation $ax^2+bx+c=0$ ayant pour racines $x_1$ et $x_2$ , quelle relation donne leur produit ?

8. Quelle transformation permet de résoudre $(ax+b)^2=d$ lorsque $d>0$ ?

10. Quelle valeur doit être exclue lors de la résolution d’une équation fractionnaire contenant le dénominateur $x-4$ ?

12. Que peut-on conclure lorsque le discriminant d’une équation du second degré vérifie $\Delta<0$ ?

13. Quelle est la solution de l’équation $ax^2=0$ lorsque $a\ne0$ ?

14. Quelle équation faut-il résoudre pour trouver deux nombres dont la somme vaut $S$ et le produit vaut $P$ ?

15. Pour une équation de la forme $(ax+b)^2=d$ , combien de solutions réelles obtient-on lorsque $d<0$ ?

16. Pourquoi $x=0$ est-elle toujours une solution de $ax^2+bx=0$ ?

18. Dans quelle condition une équation $ax^2+bx+c=0$ est-elle du second degré ?

19. Pour résoudre $ax^2+c=0$ , que faut-il faire lorsque l’isolement conduit à $x^2=d$ avec $d<0$ ?

20. Quelle factorisation est correcte pour l’expression $a^2-b^2$ ?