QCM : Équations du second degré — 10 questions

Question 1

1. Laquelle de ces équations est bien une équation du second degré sous sa forme générale ?

0x^2+2x-9=0

3x^2-5x+1=0

4x-7=0

2x^3-x+4=0

Explication

Une équation du second degré s’écrit $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$ , ce qui est le cas de $3x^2-5x+1=0$ . L’équation $4x-7=0$ est du premier degré, tandis que le coefficient du terme quadratique est nul dans la troisième proposition.

Answer

$$3x^2-5x+1=0$$

Question 2

2. Quelle condition distingue une équation du second degré d’une équation du premier degré dans l’écriture $ax^2+bx+c=0$ ?

Le coefficient

b

doit être positif

Le coefficient

c

doit être non nul

Le coefficient

a

doit être égal à zéro

Le coefficient

a

doit être non nul

Explication

Le terme en $x^2$ caractérise le second degré lorsque $a\ne0$ . Si $a=0$ , ce terme disparaît et l’équation devient du premier degré, quelle que soit la valeur de $b$ .

Answer

Le coefficient $$a$$ doit être non nul

Question 3

3. Quelle expression donne le discriminant de l’équation $ax^2+bx+c=0$ ?

\Delta=a+b^2+c

\Delta=b^2-4ac

\Delta=b-4ac^2

\Delta=a^2-4bc

Explication

Le discriminant associe le carré de $b$ au produit $4ac$ selon la formule $\Delta=b^2-4ac$ . L’expression $a^2-4bc$ inverse les rôles des coefficients et ne correspond pas à cette définition.

Answer

$$\Delta=b^2-4ac$$

Question 4

4. Que peut-on conclure pour une équation du second degré lorsque son discriminant vérifie $\Delta<0$ ?

Elle n’a aucune racine réelle et

S=\varnothing

Elle possède deux racines réelles distinctes

Elle possède une racine réelle égale à zéro

Elle possède une racine réelle double

Explication

Un discriminant négatif signifie qu’aucune racine réelle n’existe, donc l’ensemble solution est vide. Une racine double correspond au cas $\Delta=0$ , tandis que deux racines distinctes correspondent au cas $\Delta>0$ .

Answer

Elle n’a aucune racine réelle et $$S=\varnothing$$

Question 5

5. Pour $\Delta=0$ , quelle propriété vérifient les deux solutions d’une équation du second degré ?

Elles sont nulles et valent

\frac{-b}{a}

Elles sont distinctes et valent

\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

Elles sont opposées et valent

\frac{b}{2a}

Elles sont confondues et valent

\frac{-b}{2a}

Explication

Lorsque $\Delta=0$ , les deux solutions coïncident et forment une racine double, avec $x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$ . La présence de deux solutions distinctes caractérise plutôt le cas $\Delta>0$ .

Answer

Elles sont confondues et valent $$\frac{-b}{2a}$$

Question 6

6. Une équation vérifie $a=2$ , $b=-6$ et $c=1$ , avec $\Delta>0$ . Quelles formules donnent ses deux racines ?

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

et

x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

x_1=\frac{-b-\Delta}{2a}

et

x_2=\frac{-b+\Delta}{2a}

x_1=\frac{b-\sqrt{\Delta}}{a}

et

x_2=\frac{b+\sqrt{\Delta}}{a}

x_1=\frac{-a-\sqrt{\Delta}}{2b}

et

x_2=\frac{-a+\sqrt{\Delta}}{2b}

Explication

Pour $\Delta>0$ , les deux racines distinctes sont obtenues par $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ . Les autres expressions modifient le dénominateur ou remplacent la racine de $\Delta$ par une autre quantité.

Answer

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ et $$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$

Question 7

7. Que cherche-t-on à déterminer dans une équation paramétrique de paramètre $m$ ?

Le degré de toute équation indépendamment de ses coefficients

Le signe du coefficient constant pour une valeur fixe de

m

La valeur de

x

sans tenir compte de

m

Le nombre de solutions ou leurs signes selon les valeurs de

m

Explication

Une équation paramétrique étudie l’inconnue $x$ en fonction des valeurs prises par le paramètre $m$ , notamment le nombre de solutions ou leur signe. Elle ne consiste donc pas à résoudre l’équation en ignorant le paramètre.

Answer

Le nombre de solutions ou leurs signes selon les valeurs de $$m$$

Question 8

8. Quelle équation représente l’exemple paramétrique étudié, avec inconnue $x$ et paramètre $m$ ?

(E_m):(m+1)x^2+2mx+m-3=0

(E_m):mx^2-2(m-1)x+m-3=0

(E_m):(m-1)x-2m^2x+m+3=0

(E_m):(m-1)x^2-2mx+m+3=0

Explication

L’équation étudiée est $(E_m):(m-1)x^2-2mx+m+3=0$ . Les autres propositions modifient au moins un coefficient ou la puissance de l’inconnue, et décrivent donc d’autres familles d’équations.

Answer

$$(E_m):(m-1)x^2-2mx+m+3=0$$

Question 9

9. Pourquoi faut-il commencer l’étude de $(E_m):(m-1)x^2-2mx+m+3=0$ par le cas $m=1$ ?

Parce que le terme constant disparaît et l’équation devient identiquement nulle

Parce que les deux coefficients de

x

deviennent simultanément nuls

Parce que le coefficient de

x^2

devient nul et l’équation devient du premier degré

Parce que le discriminant devient automatiquement strictement positif

Explication

Pour $m=1$ , le coefficient $m-1$ du terme en $x^2$ vaut zéro, donc l’équation n’est plus du second degré et doit être traitée séparément. Pour $m\ne1$ , elle reste du second degré et l’étude se poursuit avec son discriminant.

Answer

Parce que le coefficient de $$x^2$$ devient nul et l’équation devient du premier degré

Question 10

10. Quelle est la solution de $(E_m)$ lorsque $m=1$ ?

S=\{-2\}

S=\{0\}

S=\{2\}

S=\varnothing

Explication

En remplaçant $m$ par $1$ , on obtient $-2x+4=0$ , d’où $x=2$ et $S=\{2\}$ . Ce cas fournit une équation du premier degré, et non une équation du second degré à deux racines.

Answer

$$S=\{2\}$$

QCM : Équations du second degré — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle de ces équations est bien une équation du second degré sous sa forme générale ?

2. Quelle condition distingue une équation du second degré d’une équation du premier degré dans l’écriture $ax^2+bx+c=0$ ?

3. Quelle expression donne le discriminant de l’équation $ax^2+bx+c=0$ ?

4. Que peut-on conclure pour une équation du second degré lorsque son discriminant vérifie $\Delta<0$ ?

5. Pour $\Delta=0$ , quelle propriété vérifient les deux solutions d’une équation du second degré ?

6. Une équation vérifie $a=2$ , $b=-6$ et $c=1$ , avec $\Delta>0$ . Quelles formules donnent ses deux racines ?

7. Que cherche-t-on à déterminer dans une équation paramétrique de paramètre $m$ ?

8. Quelle équation représente l’exemple paramétrique étudié, avec inconnue $x$ et paramètre $m$ ?

9. Pourquoi faut-il commencer l’étude de $(E_m):(m-1)x^2-2mx+m+3=0$ par le cas $m=1$ ?

10. Quelle est la solution de $(E_m)$ lorsque $m=1$ ?

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QCM : Équations du second degré — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle de ces équations est bien une équation du second degré sous sa forme générale ?

2. Quelle condition distingue une équation du second degré d’une équation du premier degré dans l’écriture ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 ?

3. Quelle expression donne le discriminant de l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 ?

4. Que peut-on conclure pour une équation du second degré lorsque son discriminant vérifie Δ<0\Delta<0Δ<0 ?

5. Pour Δ=0\Delta=0Δ=0, quelle propriété vérifient les deux solutions d’une équation du second degré ?

6. Une équation vérifie a=2a=2a=2, b=−6b=-6b=−6 et c=1c=1c=1, avec Δ>0\Delta>0Δ>0. Quelles formules donnent ses deux racines ?

7. Que cherche-t-on à déterminer dans une équation paramétrique de paramètre mmm ?

8. Quelle équation représente l’exemple paramétrique étudié, avec inconnue xxx et paramètre mmm ?

9. Pourquoi faut-il commencer l’étude de (Em):(m−1)x2−2mx+m+3=0(E_m):(m-1)x^2-2mx+m+3=0(Em​):(m−1)x2−2mx+m+3=0 par le cas m=1m=1m=1 ?

10. Quelle est la solution de (Em)(E_m)(Em​) lorsque m=1m=1m=1 ?

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2. Quelle condition distingue une équation du second degré d’une équation du premier degré dans l’écriture $ax^2+bx+c=0$ ?

3. Quelle expression donne le discriminant de l’équation $ax^2+bx+c=0$ ?

4. Que peut-on conclure pour une équation du second degré lorsque son discriminant vérifie $\Delta<0$ ?

5. Pour $\Delta=0$ , quelle propriété vérifient les deux solutions d’une équation du second degré ?

6. Une équation vérifie $a=2$ , $b=-6$ et $c=1$ , avec $\Delta>0$ . Quelles formules donnent ses deux racines ?

7. Que cherche-t-on à déterminer dans une équation paramétrique de paramètre $m$ ?

8. Quelle équation représente l’exemple paramétrique étudié, avec inconnue $x$ et paramètre $m$ ?

9. Pourquoi faut-il commencer l’étude de $(E_m):(m-1)x^2-2mx+m+3=0$ par le cas $m=1$ ?

10. Quelle est la solution de $(E_m)$ lorsque $m=1$ ?