Fiche de révision : Équations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Polynômes et factorisation
2. Définition du second degré
3. Équations incomplètes
4. Carré isolé et trinôme
5. Méthode générale et discriminant
6. Somme et produit des racines
7. Factorisation par les racines
8. Équations fractionnaires et problèmes

📖 1. Polynômes et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation : Consiste à transformer une somme ou une différence en un produit de facteurs.
• Polynôme : Expression algébrique composée de plusieurs monômes.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La différence de deux carrés se factorise selon $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

• Pour résoudre une équation factorisée, on met d'abord tous les termes dans un membre, on factorise, on applique la règle du produit nul, puis on écrit l'ensemble des solutions.

💡 Astuce mémo

Mise en évidence → carrés remarquables → différence de carrés → groupement

📖 2. Définition du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Équation à une inconnue qui s'écrit $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$ et l'inconnue x.

★ À maîtriser

📌 Une équation complète possède les trois termes ax², bx et c, tandis qu'une équation incomplète possède au moins un coefficient b ou c nul.

Compléments

• Dans $ax^2+bx+c=0$, a est le coefficient du monôme de degré 2, b celui du monôme de degré 1 et c le terme indépendant de degré 0.

💡 Astuce mémo

a = 0 donne le premier degré, tandis que a ≠ 0 maintient le second degré

📖 3. Équations incomplètes

📝 Points essentiels

📌 Pour une équation de type $ax^2=0$, la seule solution est toujours x=0.

• Pour résoudre $ax^2+c=0$, on isole x² puis on utilise x=±√d lorsque d est positif ; si d est négatif, il n'y a pas de solution réelle.

• Pour résoudre $ax^2+bx=0$, on met x en évidence puis on applique la règle du produit nul ; les deux solutions comprennent toujours x=0.

💡 Astuce mémo

Types 1-2-3 : carré nul, carré isolé, facteur commun

📖 4. Carré isolé et trinôme

★ À maîtriser

📌 Pour résoudre $(ax+b)^2=d$, d>0 donne deux solutions, d=0 donne une solution et d<0 ne donne aucune solution réelle.

• L'équation $(ax+b)^2=d$ peut être résolue en écrivant ax+b=±√d lorsque d est positif, puis en isolant x.

Compléments

• L'équation $(x+3)^2=9$ a pour solutions x=0 et x=-6.

💡 Astuce mémo

Signe de d → nombre de solutions de (ax+b)²=d

📖 5. Méthode générale et discriminant

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $ax^2+bx+c=0$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

📐 Formule — Lorsque $\Delta>0$, les deux solutions sont $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📌 Lorsque Δ=0, l'équation possède une solution double $x=\frac{-b}{2a}$ ; lorsque Δ<0, elle n'a aucune solution réelle.

Compléments

• La méthode générale consiste à diviser par a, compléter le carré pour obtenir $(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{\Delta}{4a^2}$, puis étudier le signe de Δ.

💡 Astuce mémo

Diviser par a → compléter le carré → calculer Δ → conclure

📖 6. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Si les racines sont x₁ et x₂, leur somme vérifie $\Sigma=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$.

📐 Formule — Si les racines sont x₁ et x₂, leur produit vérifie $P=x_1x_2=\frac{c}{a}$.

• Pour trouver deux nombres de somme S et de produit P, on résout l'équation $x^2-Sx+P=0$.

Compléments

• Les solutions de $x^2-7x+12=0$ sont 3 et 4, car leur somme vaut 7 et leur produit vaut 12.

💡 Astuce mémo

Σ additionne les racines, P les multiplie

📖 7. Factorisation par les racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Si Δ>0, le trinôme se factorise selon $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Compléments

📌 Si Δ<0, le trinôme n'est pas factorisable sur les nombres réels.

• Le polynôme $x^2+x-2$ se factorise en $(x-1)(x+2)$, car ses racines sont 1 et -2.

💡 Astuce mémo

Δ positif → deux racines → deux facteurs ; Δ nul → facteur carré

📖 8. Équations fractionnaires et problèmes

★ À maîtriser

📌 Pour une équation fractionnaire, toute valeur qui annule un dénominateur est exclue des solutions et doit être indiquée comme condition d'existence.

• Une équation fractionnaire se résout en déterminant les conditions d'existence, puis en utilisant soit le produit en croix soit un dénominateur commun, avant de vérifier les solutions interdites.

Compléments

• L'équation $\frac{2}{x}=\frac{3}{2}$ impose x≠0 et donne x=6.

• Pour résoudre un problème, on traduit la situation par une équation, on la résout avec la méthode adaptée, puis on vérifie que les solutions respectent les contraintes du problème.

💡 Astuce mémo

Conditions d’existence → dénominateur commun ou produit en croix → résolution → vérification

📊 Tableaux de synthèse

Signe du discriminant et solutions

Somme et produit des racines