Fiche de révision : Équations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et forme générale
2. Discriminant et solutions
3. Équations avec paramètre

📖 1. Définition et forme générale

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Équation de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne 0$.

📖 2. Discriminant et solutions

★ À maîtriser

📐 Formule — Le discriminant d’une équation $ax^2+bx+c=0$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📐 Formule — Si $\Delta=0$, l’équation possède une racine double vérifiant $x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$.

📐 Formule — Si $\Delta>0$, l’équation possède deux racines distinctes vérifiant $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📌 Si $\Delta<0$, l’équation n’a pas de racine réelle et son ensemble solution est $S=\varnothing$.

Compléments

• Lorsque l’équation possède une racine double, sa forme factorisée est $a(x-x_1)^2$ ; lorsqu’elle possède deux racines distinctes, sa forme factorisée est $a(x-x_1)(x-x_2)$.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : aucune racine ; Δ=0 : une racine double ; Δ>0 : deux racines distinctes.

📖 3. Équations avec paramètre

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation paramétrique : Équation d’inconnue x dont on détermine le nombre de solutions ou leurs signes selon les valeurs de m.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $m\ne1$, le discriminant de $(E_m)$ est $\Delta_m=(-2m)^2-4(m-1)(m+3)=-8m+12$.

• L’étude de $(E_m)$ commence par le cas $m=1$, puis se poursuit avec le cas $m\ne1$ où l’on calcule le discriminant $\Delta_m$ et son signe.

• L’exemple étudié est l’équation paramétrique $(E_m):(m-1)x^2-2mx+m+3=0$.

• Pour $m=1$, l’équation devient $-2x+4=0$ et son unique solution est $x=2$, donc $S=\{2\}$.

• Le discriminant paramétrique s’annule pour $m=\frac{3}{2}$.

• Pour $m=\frac{3}{2}$, l’équation possède une solution double $x_1=x_2=-3$, donc $S=\{-3\}$.

Compléments

📌 Pour $m>\frac{3}{2}$, on a $\Delta_m<0$ et l’équation $(E_m)$ n’a pas de solution.

• Le tableau de signe fourni indique que $\Delta_m>0$ sur les intervalles situés avant $m=1$ et entre $m=1$ et $m=\frac{3}{2}$, que $\Delta_m=0$ pour $m=\frac{3}{2}$, et que $\Delta_m<0$ après $\frac{3}{2}$.

💡 Astuce mémo

Cas particulier m=1, puis cas du second degré m≠1, enfin étude du signe de Δm.

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant