Fiche de révision : Nombres réels et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles numériques fondamentaux
2. Nombres rationnels et réels
3. Inclusions des ensembles numériques
4. Intervalles de la droite réelle
5. Unions et intersections d’intervalles
6. Encadrement et arrondi décimal

📖 1. Ensembles numériques fondamentaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : sont les entiers positifs ou nuls : N = {0, 1, 2, 3, ...}.
• Entiers relatifs : sont les entiers positifs, négatifs ou nuls : Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.
• Nombres décimaux : sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec a ∈ Z et n ∈ N.

📝 Points essentiels

• Les nombres 4, -8 et 0,0001 sont décimaux, car ils s’écrivent respectivement $\frac{4}{1}$, $\frac{-8}{1}$ et $\frac{1}{10^4}$.

💡 Astuce mémo

N → Z → D : du naturel au décimal

📖 2. Nombres rationnels et réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ avec a ∈ Z, b ∈ Z et b ≠ 0.
• Nombres réels : sont les abscisses de tous les points d’une droite graduée, appelée droite numérique.
• Nombres irrationnels : sont des nombres réels qui ne sont pas rationnels.

★ À maîtriser

📌 Le nombre 1/3 n’est pas décimal, car supposer 1/3 = a/10^n conduirait à 10^n = 3a, alors que 10^n n’est pas un multiple de 3.

Compléments

• La fraction 130/70 se simplifie en 13/7, qui est sa forme irréductible.

💡 Astuce mémo

Rationnel = fraction ; irrationnel = réel non rationnel

📖 3. Inclusions des ensembles numériques

📝 Points essentiels

📌 Les ensembles numériques vérifient les inclusions N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 4. Intervalles de la droite réelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle réel : est une partie de la droite numérique formée par les réels vérifiant une ou plusieurs conditions entre des bornes.

★ À maîtriser

• Dans un intervalle, un crochet ouvert indique que la borne n’appartient pas à l’intervalle, tandis qu’un crochet fermé indique qu’elle y appartient.

• On a R = ]-∞;+∞[, R⁺ = [0;+∞[, R⁻ = ]-∞;0] et R* = ]-∞;0[ ∪ ]0;+∞[.

Compléments

• Les symboles +∞ et -∞ ne désignent pas des nombres réels ; le crochet est donc toujours ouvert de leur côté.

💡 Astuce mémo

Une droite graduée avec des bornes ouvertes ou fermées

📖 5. Unions et intersections d’intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection d’intervalles : est l’ensemble des réels appartenant à I et à J, noté I ∩ J.
• Union d’intervalles : est l’ensemble des réels appartenant à I ou à J, noté I ∪ J.

📝 Points essentiels

• On a [5;12] ∩ [0;8] = [5;8] et [-3;6] ∪ [-10;0] = [-10;6].

• L’intersection de deux intervalles peut être vide ; l’ensemble vide est noté ∅.

💡 Astuce mémo

Intersection = ET ; union = OU

📖 6. Encadrement et arrondi décimal

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement décimal : consiste à donner deux nombres décimaux a et b tels que a < x < b.
• Amplitude d’un encadrement : L’amplitude d’un encadrement décimal a < x < b est la différence b - a.
• Arrondi : est la valeur approchée la plus proche du nombre, et la plus grande lorsque les deux valeurs approchées sont à égale distance.

★ À maîtriser

📌 Un encadrement est à 10^-n près lorsque son amplitude est égale à 10^-n, avec n ∈ N.

Compléments

• L’encadrement 3,14 < π < 3,15 est à 0,01 près, soit à 10^-2 près, car 3,15 - 3,14 = 0,01.

• L’arrondi de π à 0,01 près est 3,14 et son arrondi à 0,001 près est 3,142.

💡 Astuce mémo

Encadrer, mesurer l’amplitude, puis arrondir

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions des ensembles numériques