Fiche de révision : Nombres réels et valeur absolue

📋 Plan du Cours

1. Ensemble des nombres réels
2. Ordre et intervalles réels
3. Puissances et racines carrées
4. Définition et propriétés de la valeur absolue
5. Valeur absolue comme distance
6. Équations et inéquations absolues

📖 1. Ensemble des nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Ensemble contenant les nombres rationnels ℚ et les nombres irrationnels.

📝 Points essentiels

• Les nombres rationnels sont ceux qui peuvent s’écrire sous une forme décimale finie ou périodique.

💡 Astuce mémo

ℚ fournit les rationnels ; ℝ ajoute les irrationnels.

📖 2. Ordre et intervalles réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Partie de ℝ qui contient tous les réels compris entre deux réels de cette partie.

★ À maîtriser

• L’ensemble ℝ est totalement ordonné et sa relation d’ordre est compatible avec les opérations.

📌 Dans la notation d’un intervalle, une borne est incluse avec un crochet fermé et exclue avec un crochet ouvert.

Compléments

• L’intersection de deux intervalles est un intervalle.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : borne incluse ; crochet ouvert : borne exclue.

📖 3. Puissances et racines carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière : Pour un réel a et un entier naturel n, $a^n$ est le produit de n facteurs égaux à a.
• Racine carrée : Unique réel positif ou nul dont le carré vaut a, pour a positif ou nul.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout réel a positif ou nul, $\sqrt{a}\ge 0$ et $(\sqrt{a})^2=a$.

Compléments

📌 Pour définir une puissance d’exposant entier relatif, la base a doit être non nulle.

📐 Formule - Pour tous réels a et b positifs ou nuls, $\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$.

📖 4. Définition et propriétés de la valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Distance de x à zéro.

★ À maîtriser

• Pour tout réel x, $|x|\ge0$ et $|x|=0$ si et seulement si $x=0$.

📌 Pour tout réel x, $|x|=x$ si $x\ge0$, et $|x|=-x$ si $x<0$.

Compléments

• La valeur absolue de −5 vaut 5, soit $|-5|=5$.

💡 Astuce mémo

Visualiser |x| comme la distance entre x et zéro.

📖 5. Valeur absolue comme distance

★ À maîtriser

• Pour deux réels a et b, la distance entre a et b vaut $|a-b|$, ce qui est aussi égal à $|b-a|$.

Compléments

📌 La valeur absolue d’une somme n’est pas égale à la somme des valeurs absolues.

💡 Astuce mémo

|a-b| mesure la distance entre a et b ; |a| mesure celle entre a et zéro.

📖 6. Équations et inéquations absolues

★ À maîtriser

📌 Pour r positif, $|x-a|=r$ équivaut à $x=a-r$ ou $x=a+r$.

Compléments

• Pour résoudre une équation contenant une valeur absolue, on sépare les cas où l’expression intérieure vaut r ou −r, puis on résout les deux équations.

• L’équation $|x-3|=2$ a pour solutions 1 et 5, soit $S=\{1;5\}$.

• L’inéquation $|x-3|<2$ a pour ensemble de solutions $S=]1;5[$.

💡 Astuce mémo

Autour du centre a, le rayon r trace l’intervalle [a-r;a+r] ; au-delà, les solutions sont à l’extérieur.