QCM : Nombres réels et valeur absolue (15 questions)

Question 1

1. Quelle relation décrit l’ensemble des nombres réels par rapport aux nombres rationnels et irrationnels ?

Il contient les nombres irrationnels, mais pas les nombres rationnels.

Il contient les nombres entiers, mais exclut les nombres rationnels non entiers.

Il contient les nombres rationnels et les nombres irrationnels.

Il contient les nombres rationnels, mais pas les nombres irrationnels.

Explication

Les nombres réels regroupent à la fois les nombres rationnels et les nombres irrationnels. Les irrationnels ne sont donc pas exclus de cet ensemble.

Answer

Il contient les nombres rationnels et les nombres irrationnels.

Question 2

2. Parmi ces nombres, lequel est rationnel en raison de son écriture décimale ?

Un nombre dont l’écriture décimale est finie, comme

0{,}375

.

Un nombre dont l’écriture décimale est infinie et non périodique.

Un nombre dont l’écriture décimale ne se termine pas et ne présente pas de période.

Un nombre dont les chiffres décimaux se succèdent sans motif périodique.

Explication

Un nombre à écriture décimale finie est rationnel, tout comme un nombre à écriture périodique. Une écriture infinie non périodique correspond au cas opposé.

Answer

Un nombre dont l’écriture décimale est finie, comme $$0{,}375$$.

Question 3

3. Si $a<b$ , quelle inégalité résulte de l’ajout d’un même réel $c$ aux deux membres ?

a+c>b+c

, car l’addition inverse le sens de l’ordre.

a+c<b+c

, car l’ordre est compatible avec l’addition.

a+c=b+c

, car l’ajout efface l’écart entre les membres.

Aucune relation d’ordre ne peut être établie entre ces deux sommes.

Explication

La relation d’ordre sur les réels est compatible avec les opérations, notamment avec l’addition d’un même réel aux deux membres. L’addition ne renverse donc pas le sens de l’inégalité.

Answer

$$a+c<b+c$$, car l’ordre est compatible avec l’addition.

Question 4

4. Quel ensemble est un intervalle de $\mathbb{R}$ ?

Une partie qui contient les entiers entre deux bornes, mais exclut les réels non entiers.

Une partie qui contient deux réels, mais peut exclure ceux qui les séparent.

Une partie formée de deux morceaux séparés par des réels absents.

Une partie qui contient tous les réels situés entre deux de ses éléments.

Explication

Un intervalle contient tous les réels compris entre deux réels appartenant à cet ensemble. Une partie qui exclut des réels situés entre deux de ses éléments ne satisfait pas cette définition.

Answer

Une partie qui contient tous les réels situés entre deux de ses éléments.

Question 5

5. Dans la notation d’un intervalle, que signifie un crochet ouvert placé au niveau d’une borne ?

La borne appartient à l’intervalle.

La borne n’appartient pas à l’intervalle.

L’intervalle ne contient aucun réel près de cette borne.

La borne est remplacée par une autre valeur.

Explication

Un crochet ouvert indique que la borne est exclue, tandis qu’un crochet fermé indique qu’elle est incluse. Un crochet ouvert ne signifie pas que les réels proches de la borne sont absents.

Answer

La borne n’appartient pas à l’intervalle.

Question 6

6. Que représente $a^4$ lorsque $a$ est un réel ?

Le produit de quatre facteurs égaux à

a

.

Le quotient de

a

par quatre facteurs égaux à

a

.

La somme de quatre termes égaux à

a

.

Le produit de

a

par quatre facteurs égaux à

4

.

Explication

Une puissance d’exposant naturel est le produit d’autant de facteurs égaux à la base que l’indique l’exposant. Une somme répétée de la base décrit plutôt une multiplication par l’exposant.

Answer

Le produit de quatre facteurs égaux à $$a$$.

Question 7

7. Quelle définition correspond à la racine carrée de $25$ ?

Le réel positif dont le double vaut

25

.

Le réel négatif dont le carré vaut

25

.

Les deux réels dont le carré vaut

25

.

L’unique réel positif ou nul dont le carré vaut

25

.

Explication

La racine carrée est l’unique réel positif ou nul dont le carré vaut le nombre considéré; celle de $25$ est donc $5$ . L’équation $x^2=25$ a deux solutions, mais la racine carrée ne désigne pas l’ensemble de ces solutions.

Answer

L’unique réel positif ou nul dont le carré vaut $$25$$.

Question 8

8. Pour $a\ge 0$ , quelle propriété est vraie pour $\sqrt{a}$ ?

\sqrt{a}=a

et

(\sqrt{a})^2=a

.

\sqrt{a}\le 0

et

(\sqrt{a})^2=a

.

\sqrt{a}\ge 0

et

(\sqrt{a})^2=a

.

\sqrt{a}\ge 0

et

(\sqrt{a})^2=-a

.

Explication

La racine carrée d’un réel positif ou nul est elle-même positive ou nulle, et son carré redonne ce réel. La racine carrée ne fournit pas un résultat négatif dont le carré serait la valeur opposée de $a$ .

Answer

$$\sqrt{a}\ge 0$$ et $$(\sqrt{a})^2=a$$.

Question 9

9. Que représente la valeur absolue d’un réel $x$ ?

La distance de

x

à un, qui dépend de son signe

La distance de

x

à zéro, qui est non négative

Le carré de

x

, qui est toujours non négatif

Le nombre

x

avec son signe, qu’il soit positif ou négatif

Explication

La valeur absolue mesure la distance entre le réel et zéro, donc elle est non négative même si le réel est négatif. Confondre la valeur absolue avec le nombre lui-même ne tient pas compte de cette différence de signe.

Answer

La distance de $$x$$ à zéro, qui est non négative

Question 10

10. Pour quel réel $x$ la valeur absolue $|x|$ est-elle égale à zéro ?

Pour tout réel

x

qui est inférieur ou égal à zéro

Pour tout réel

x

dont la valeur est inférieure à un

Pour

x=0

, et pour aucun autre réel

Pour

x=1

, puisque sa distance à zéro vaut un

Explication

Une distance à zéro est nulle exactement lorsque le point considéré est zéro. Un réel négatif a une valeur absolue positive, et non nulle.

Answer

Pour $$x=0$$, et pour aucun autre réel

Question 11

11. Quelle expression donne $|x|$ lorsque $x<0$ ?

-1

, quelle que soit la valeur de

x

-x

, qui est alors positif

x+1

, qui dépend de la proximité de zéro

x

, qui conserve son signe négatif

Explication

Lorsque $x$ est négatif, son opposé $-x$ est positif et égal à sa valeur absolue. L’expression $x$ conserve au contraire le signe négatif du nombre.

Answer

$$-x$$, qui est alors positif

Question 12

12. Comment calcule-t-on la distance entre deux réels $a$ et $b$ ?

Par

a-b

, en conservant l’ordre des deux réels

Par

a+b

, puis en prenant le signe de

b

Par

|a-b|

, ce qui équivaut à

|b-a|

Par

|a+b|

, en additionnant leurs positions

Explication

La distance entre deux réels est la valeur absolue de leur différence; inverser l’ordre donne la même distance. La différence $a-b$ sans valeur absolue peut être négative et ne représente donc pas toujours une distance.

Answer

Par $$|a-b|$$, ce qui équivaut à $$|b-a|$$

Question 13

13. Quelle affirmation distingue correctement la valeur absolue d’une somme de la somme des valeurs absolues ?

La valeur absolue d’une somme n’est pas nécessairement égale à la somme des valeurs absolues

La valeur absolue d’une somme est égale à la différence des valeurs absolues

La valeur absolue d’une somme est égale au produit des valeurs absolues

La valeur absolue d’une somme est toujours égale à la somme des valeurs absolues

Explication

La valeur absolue d’une somme ne se distribue pas en général sur les termes, notamment lorsque des termes de signes opposés se compensent. L’égalité avec la somme des valeurs absolues n’est donc pas une règle générale.

Answer

La valeur absolue d’une somme n’est pas nécessairement égale à la somme des valeurs absolues

Question 14

14. Pour $r>0$ , quelles solutions vérifient l’équation $|x-a|=r$ ?

Tous les

x

compris entre

a-r

et

a+r

x=a

ou

x=a+r

x=a-r

ou

x=a+r

Tous les

x

situés à moins de

r

de

a

Explication

L’équation impose que la distance de $x$ à $a$ soit exactement $r$ , ce qui donne les deux points situés de part et d’autre de $a$ . Un intervalle correspond plutôt à une inéquation telle que $|x-a|<r$ .

Answer

$$x=a-r$$ ou $$x=a+r$$

Question 15

15. Quel est l’ensemble des solutions de $|x-3|<2$ ?

[1;5]

]1;5[

]-\infty;1[\cup]5;+\infty[

\{1;5\}

Explication

L’inégalité signifie que la distance entre $x$ et 3 est inférieure à 2, donc $1<x<5$ . L’ensemble $\{1;5\}$ donne seulement les deux points à distance exactement 2, et ne convient pas à une inégalité stricte.

QCM : Nombres réels et valeur absolue (15 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle relation décrit l’ensemble des nombres réels par rapport aux nombres rationnels et irrationnels ?

2. Parmi ces nombres, lequel est rationnel en raison de son écriture décimale ?

3. Si $a<b$ , quelle inégalité résulte de l’ajout d’un même réel $c$ aux deux membres ?

4. Quel ensemble est un intervalle de $\mathbb{R}$ ?

5. Dans la notation d’un intervalle, que signifie un crochet ouvert placé au niveau d’une borne ?

6. Que représente $a^4$ lorsque $a$ est un réel ?

7. Quelle définition correspond à la racine carrée de $25$ ?

8. Pour $a\ge 0$ , quelle propriété est vraie pour $\sqrt{a}$ ?

9. Que représente la valeur absolue d’un réel $x$ ?

10. Pour quel réel $x$ la valeur absolue $|x|$ est-elle égale à zéro ?

11. Quelle expression donne $|x|$ lorsque $x<0$ ?

12. Comment calcule-t-on la distance entre deux réels $a$ et $b$ ?

13. Quelle affirmation distingue correctement la valeur absolue d’une somme de la somme des valeurs absolues ?

14. Pour $r>0$ , quelles solutions vérifient l’équation $|x-a|=r$ ?

15. Quel est l’ensemble des solutions de $|x-3|<2$ ?

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QCM : Nombres réels et valeur absolue (15 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle relation décrit l’ensemble des nombres réels par rapport aux nombres rationnels et irrationnels ?

2. Parmi ces nombres, lequel est rationnel en raison de son écriture décimale ?

3. Si a<ba<ba<b, quelle inégalité résulte de l’ajout d’un même réel ccc aux deux membres ?

4. Quel ensemble est un intervalle de R\mathbb{R}R ?

5. Dans la notation d’un intervalle, que signifie un crochet ouvert placé au niveau d’une borne ?

6. Que représente a4a^4a4 lorsque aaa est un réel ?

7. Quelle définition correspond à la racine carrée de 252525 ?

8. Pour a≥0a\ge 0a≥0, quelle propriété est vraie pour a\sqrt{a}a​ ?

9. Que représente la valeur absolue d’un réel xxx ?

10. Pour quel réel xxx la valeur absolue ∣x∣|x|∣x∣ est-elle égale à zéro ?

11. Quelle expression donne ∣x∣|x|∣x∣ lorsque x<0x<0x<0 ?

12. Comment calcule-t-on la distance entre deux réels aaa et bbb ?

13. Quelle affirmation distingue correctement la valeur absolue d’une somme de la somme des valeurs absolues ?

14. Pour r>0r>0r>0, quelles solutions vérifient l’équation ∣x−a∣=r|x-a|=r∣x−a∣=r ?

15. Quel est l’ensemble des solutions de ∣x−3∣<2|x-3|<2∣x−3∣<2 ?

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3. Si $a<b$ , quelle inégalité résulte de l’ajout d’un même réel $c$ aux deux membres ?

4. Quel ensemble est un intervalle de $\mathbb{R}$ ?

6. Que représente $a^4$ lorsque $a$ est un réel ?

7. Quelle définition correspond à la racine carrée de $25$ ?

8. Pour $a\ge 0$ , quelle propriété est vraie pour $\sqrt{a}$ ?

9. Que représente la valeur absolue d’un réel $x$ ?

10. Pour quel réel $x$ la valeur absolue $|x|$ est-elle égale à zéro ?

11. Quelle expression donne $|x|$ lorsque $x<0$ ?

12. Comment calcule-t-on la distance entre deux réels $a$ et $b$ ?

14. Pour $r>0$ , quelles solutions vérifient l’équation $|x-a|=r$ ?

15. Quel est l’ensemble des solutions de $|x-3|<2$ ?