Fiche de révision : Nombres relatifs et fractions

📋 Plan du Cours

1. Division euclidienne et divisibilité
2. Critères de divisibilité
3. Décomposition en facteurs premiers
4. PPCM et PGCD en problèmes

📖 1. Division euclidienne et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Division de deux entiers positifs avec b non nul qui consiste à déterminer q et r tels que $a=b\times q+r$ avec $0\le r<b$.
• Divisibilité : Propriété d’un nombre a lorsque le reste de sa division euclidienne par b est égal à 0.

★ À maîtriser

📌 Si a est divisible par b, alors a est un multiple de b et b est un diviseur de a.

Compléments

• Dans la division euclidienne de 187 par 13, le quotient est 14 et le reste est 5, car $187=13\times14+5$.

📌 La division par 0 est interdite et les notions de multiple et de diviseur s’utilisent avec des nombres entiers.

💡 Astuce mémo

Diviser : a = b × q + r, puis vérifier 0 ≤ r < b

📖 2. Critères de divisibilité

📝 Points essentiels

• Un nombre est divisible par 2 lorsqu’il est pair.

• Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.

• Un nombre est divisible par 4 lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4.

💡 Astuce mémo

Pour 2, 3 et 4 : pair, somme des chiffres, deux derniers chiffres

📖 3. Décomposition en facteurs premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Décomposition en facteurs premiers : Écriture d’un nombre entier comme un produit de nombres premiers.

📝 Points essentiels

• Les décompositions en facteurs premiers de 12 et de 18 sont $12=2\times2\times3$ et $18=2\times3\times3$.

• Les décompositions en facteurs premiers de 630 et de 270 sont $630=2\times3\times3\times5\times7$ et $270=2\times3\times3\times3\times5$.

💡 Astuce mémo

Décomposer en facteurs premiers → retrouver les multiples et diviseurs communs

📖 4. PPCM et PGCD en problèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• PPCM : Plus petit nombre qui est un multiple commun de plusieurs nombres.
• PGCD : Plus grand nombre qui divise plusieurs nombres.

★ À maîtriser

• Pour déterminer le ppcm de 12 et 18, on décompose les deux nombres en facteurs premiers, puis on obtient le premier multiple commun 36 en multipliant 12 par 3 et 18 par 2.

• Pour déterminer le pgcd de 630 et 270, on décompose les deux nombres en facteurs premiers, puis on retient les facteurs communs pour obtenir $2\times3\times3\times5=90$.

Compléments

• Pour les roues dentées de 12 et 18 dents, la position initiale est retrouvée lorsque la roue A a effectué 3 tours et la roue B 2 tours.

• Pour couper des rubans de 630 cm et de 270 cm en morceaux égaux sans chute, la longueur maximale d’un morceau est de 90 cm, ce qui donne 7 morceaux rouges et 3 morceaux noirs.

💡 Astuce mémo

PPCM pour le premier multiple commun, PGCD pour le plus grand diviseur commun

📊 Tableaux de synthèse

PPCM et PGCD