QCM : Nombres relatifs et fractions — 12 questions

Question 1

1. Dans une division euclidienne de $a$ par $b$ , quelles conditions doivent vérifier le quotient $q$ et le reste $r$ ?

a=q+r+b

avec

0<r\le b

a=b\times q+r

avec

0\le r<b

a=b\times r+q

avec

0\le q<b

a=b\times q-r

avec

0\le r\le b

Explication

La division euclidienne vérifie l’égalité $a=b\times q+r$ et impose un reste compris entre $0$ et $b-1$ . Le reste peut donc être nul, tandis que le diviseur doit être non nul.

Answer

$$a=b\times q+r$$ avec $$0\le r<b$$

Question 2

2. Que signifie dire qu’un nombre entier $a$ est divisible par un nombre entier $b$ ?

Le reste de la division euclidienne de

a

par

b

est inférieur à

b

.

Le diviseur

b

est inférieur au quotient obtenu.

Le reste de la division euclidienne de

a

par

b

est nul.

Le quotient de la division euclidienne de

a

par

b

est nul.

Explication

La divisibilité par $b$ signifie que la division euclidienne de $a$ par $b$ donne un reste égal à $0$ . Un reste inférieur à $b$ caractérise toute division euclidienne, y compris lorsque $a$ n’est pas divisible par $b$ .

Answer

Le reste de la division euclidienne de $$a$$ par $$b$$ est nul.

Question 3

3. Si $a$ est divisible par $b$ , quelle relation entre ces deux nombres est correcte ?

a

et

b

ont nécessairement le même quotient.

a

et

b

sont nécessairement deux nombres premiers.

a

est un diviseur de

b

et

b

est un multiple de

a

.

a

est un multiple de

b

et

b

est un diviseur de

a

.

Explication

Lorsque $a$ est divisible par $b$ , il existe un entier $q$ tel que $a=b\times q$ ; $a$ est donc un multiple de $b$ et $b$ un diviseur de $a$ . Cette relation n’impose ni que les nombres soient premiers ni qu’ils aient un quotient particulier.

Answer

$$a$$ est un multiple de $$b$$ et $$b$$ est un diviseur de $$a$$.

Question 4

4. Quel nombre est divisible par $2$ ?

738

739

735

731

Explication

Un nombre est divisible par $2$ lorsqu’il est pair, c’est-à-dire lorsque son dernier chiffre est pair. Parmi les nombres proposés, $738$ est le seul qui se termine par un chiffre pair.

Answer

Oui, car $$4+5+7+2=18$$, qui est divisible par $$3$$.

Answer

$$1\,316$$

Answer

$$2\times2\times3\times5$$

Answer

$$12=2\times2\times3$$ et $$18=2\times3\times3$$.

Answer

Le plus petit nombre qui est un multiple commun de ces nombres

Answer

Décomposer les nombres en facteurs premiers, puis identifier le premier multiple commun, qui vaut 36

Answer

90, car le produit des facteurs premiers communs vaut $$2\times3\times3\times5$$

Answer

La roue de 12 dents effectue 3 tours et celle de 18 dents en effectue 2

Question 5

5. Le nombre $4\,572$ est-il divisible par $3$ , et pourquoi ?

Non, car son dernier chiffre est pair, ce qui exclut la divisibilité par

3

.

Oui, car

4+5+7+2=18

, qui est divisible par

3

.

Oui, car ses deux derniers chiffres forment

72

, qui est divisible par

3

.

Non, car la somme de ses chiffres vaut

18

, qui n’est pas un multiple de

3

.

Explication

La divisibilité par $3$ se vérifie en additionnant les chiffres ; ici, $4+5+7+2=18$ et $18$ est divisible par $3$ . L’examen des deux derniers chiffres correspond plutôt au critère de divisibilité par $4$ .

Question 6

6. Lequel de ces nombres est divisible par $4$ ?

1\,318

1\,322

1\,314

1\,316

Explication

Pour la divisibilité par $4$ , on examine les deux derniers chiffres : $16$ est un multiple de $4$ , donc $1\,316$ convient. Les nombres $14$ , $18$ et $22$ ne sont pas des multiples de $4$ .

Question 7

7. Quelle expression est une décomposition en facteurs premiers de $60$ ?

3\times20

6\times10

2\times2\times3\times5

4\times15

Explication

Une décomposition en facteurs premiers écrit le nombre comme un produit dont chaque facteur est premier ; $60=2\times2\times3\times5$ respecte cette condition. Les autres expressions décomposent $60$ avec des facteurs composés.

Question 8

8. Quelle comparaison entre les décompositions en facteurs premiers de $12$ et de $18$ est exacte ?

12=2\times2\times2

et

18=3\times3\times3

.

12=2\times2\times3

et

18=2\times3\times3

.

12=3\times4

et

18=2\times9

.

12=2\times3\times3

et

18=2\times2\times3

.

Explication

La décomposition de $12$ contient deux facteurs $2$ et un facteur $3$ , tandis que celle de $18$ contient un facteur $2$ et deux facteurs $3$ . Les expressions utilisant $4$ ou $9$ ne sont pas entièrement écrites avec des facteurs premiers.

Question 9

9. Que représente le ppcm de plusieurs nombres ?

Le plus petit nombre qui est un multiple commun de ces nombres

Le plus grand nombre qui est un diviseur commun de ces nombres

Le plus grand nombre qui est un multiple commun de ces nombres

Le plus petit nombre qui est un diviseur commun de ces nombres

Explication

Le ppcm désigne le plus petit nombre appartenant aux multiples de chacun des nombres considérés. Le pgcd correspond, lui, au plus grand diviseur commun, et non à un multiple commun.

Question 10

10. Quelle démarche permet de déterminer le ppcm de 12 et 18 ?

Décomposer les nombres en facteurs premiers et retenir les diviseurs communs jusqu’à obtenir 6

Décomposer les nombres en facteurs premiers, puis identifier le premier multiple commun, qui vaut 36

Additionner 12 et 18, puis vérifier si leur somme est divisible par chacun des deux nombres

Décomposer les nombres en facteurs premiers et retenir les facteurs communs avec leurs plus grands exposants

Explication

Les multiples de 12 et de 18 se rencontrent pour la première fois en 36, car $12\times3=36$ et $18\times2=36$ . La recherche des facteurs communs pour obtenir le plus grand diviseur commun relève du pgcd, pas du ppcm.

Question 11

11. Quel nombre est le pgcd de 630 et 270 ?

30, car il s’agit d’un diviseur commun obtenu après une réduction partielle

900, car le produit des deux nombres contient tous leurs facteurs

180, car ce nombre combine les facteurs principaux des deux décompositions

90, car le produit des facteurs premiers communs vaut

2\times3\times3\times5

Explication

Le pgcd se calcule en conservant les facteurs premiers communs, ce qui donne $2\times3\times3\times5=90$ . Le nombre 30 est bien un diviseur commun, mais il n’est pas le plus grand diviseur commun.

Question 12

12. Deux roues dentées possèdent respectivement 12 et 18 dents. Après combien de tours retrouvent-elles leur position initiale simultanément ?

La roue de 12 dents effectue 3 tours et celle de 18 dents en effectue 2

Les deux roues effectuent 6 tours, car leur plus grand diviseur commun vaut 6

La roue de 12 dents effectue 2 tours et celle de 18 dents en effectue 3

La roue de 12 dents effectue 1 tour et celle de 18 dents en effectue 2

Explication

La position initiale réapparaît lorsque le nombre de dents parcourues est un multiple commun minimal : $12\times3=18\times2=36$ . Le couple de tours inversé ne parcourt pas le même nombre de dents sur les deux roues.

QCM : Nombres relatifs et fractions — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Dans une division euclidienne de $a$ par $b$ , quelles conditions doivent vérifier le quotient $q$ et le reste $r$ ?

2. Que signifie dire qu’un nombre entier $a$ est divisible par un nombre entier $b$ ?

3. Si $a$ est divisible par $b$ , quelle relation entre ces deux nombres est correcte ?

4. Quel nombre est divisible par $2$ ?

5. Le nombre $4\,572$ est-il divisible par $3$ , et pourquoi ?

6. Lequel de ces nombres est divisible par $4$ ?

7. Quelle expression est une décomposition en facteurs premiers de $60$ ?

8. Quelle comparaison entre les décompositions en facteurs premiers de $12$ et de $18$ est exacte ?

9. Que représente le ppcm de plusieurs nombres ?

10. Quelle démarche permet de déterminer le ppcm de 12 et 18 ?

11. Quel nombre est le pgcd de 630 et 270 ?

12. Deux roues dentées possèdent respectivement 12 et 18 dents. Après combien de tours retrouvent-elles leur position initiale simultanément ?

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QCM : Nombres relatifs et fractions — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Dans une division euclidienne de aaa par bbb, quelles conditions doivent vérifier le quotient qqq et le reste rrr ?

2. Que signifie dire qu’un nombre entier aaa est divisible par un nombre entier bbb ?

3. Si aaa est divisible par bbb, quelle relation entre ces deux nombres est correcte ?

4. Quel nombre est divisible par 222 ?

5. Le nombre 4 5724\,5724572 est-il divisible par 333, et pourquoi ?

6. Lequel de ces nombres est divisible par 444 ?

7. Quelle expression est une décomposition en facteurs premiers de 606060 ?

8. Quelle comparaison entre les décompositions en facteurs premiers de 121212 et de 181818 est exacte ?

9. Que représente le ppcm de plusieurs nombres ?

10. Quelle démarche permet de déterminer le ppcm de 12 et 18 ?

11. Quel nombre est le pgcd de 630 et 270 ?

12. Deux roues dentées possèdent respectivement 12 et 18 dents. Après combien de tours retrouvent-elles leur position initiale simultanément ?

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1. Dans une division euclidienne de $a$ par $b$ , quelles conditions doivent vérifier le quotient $q$ et le reste $r$ ?

2. Que signifie dire qu’un nombre entier $a$ est divisible par un nombre entier $b$ ?

3. Si $a$ est divisible par $b$ , quelle relation entre ces deux nombres est correcte ?

4. Quel nombre est divisible par $2$ ?

5. Le nombre $4\,572$ est-il divisible par $3$ , et pourquoi ?

6. Lequel de ces nombres est divisible par $4$ ?

7. Quelle expression est une décomposition en facteurs premiers de $60$ ?

8. Quelle comparaison entre les décompositions en facteurs premiers de $12$ et de $18$ est exacte ?