Fiche de révision : Nombres relatifs et fractions

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres
2. Addition et opposition
3. Soustraction des relatifs
4. Propriétés des quotients
5. Calculs avec les fractions

📖 1. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre relatif : Nombre négatif ou positif, appartenant à l’ensemble noté Z.
• Nombre rationnel : Nombre qui peut s’écrire sous forme de fraction, dans l’ensemble noté Q.
• Nombre décimal : Nombre dont l’écriture à virgule s’arrête.

★ À maîtriser

📌 Le nombre 1/3 est rationnel mais pas décimal, car sa division donne environ 0,3333… avec une écriture décimale infinie.

Compléments

• Les nombres 27, -4, 2,8 et -43,056 sont des nombres décimaux relatifs et peuvent aussi s’écrire respectivement 27/1, -8/2, 28/10 et -43056/1000.

💡 Astuce mémo

Décimal = écriture qui s’arrête ; rationnel = écriture fractionnaire, même si elle est infinie.

📖 2. Addition et opposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres opposés : Deux nombres dont la somme donne zéro, comme 3 et -3 ou -4 et 4.

★ À maîtriser

📌 Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on additionne leurs distances à zéro et on garde leur signe commun.

📌 Pour additionner deux nombres relatifs de signes différents, on soustrait leurs distances à zéro et on donne le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.

Compléments

• Les additions -2 + (-5) = -7 et 3 + 5 = 8 illustrent l’addition de nombres relatifs de même signe.

• Les calculs illustrent l’addition de signes différents:

  • -2 + 5 = 3
  • -7 + 4 = -3
  • 3 + (-2) = 1
  • 6 + (-8) = -2

💡 Astuce mémo

Même signe : additionner et garder ; signes différents : soustraire et choisir le plus éloigné de zéro.

📖 3. Soustraction des relatifs

★ À maîtriser

📌 Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.

• Pour calculer une différence de nombres relatifs, on remplace la soustraction par l’addition de l’opposé, puis on applique la règle de l’addition des relatifs.

Compléments

• Les calculs 3 - 5 = 3 + (-5) = -2 et -3 - 5 = (-3) + (-5) = -8 montrent que soustraire 5 revient à ajouter -5.

💡 Astuce mémo

Soustraire → ajouter l’opposé.

📖 4. Propriétés des quotients

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour b ≠ 0 et k ≠ 0, un quotient vérifie $\frac{a}{b}=\frac{a\times k}{b\times k}$ et $\frac{a}{b}=\frac{a:k}{b:k}$.

📌 Le quotient de deux nombres relatifs a et b, avec b ≠ 0, ne change pas lorsqu’on multiplie ou divise a et b par un même nombre relatif k ≠ 0.

Compléments

• Cette propriété permet de: simplifier des fractions, comparer des fractions, additionner des fractions avec un même dénominateur, soustraire des fractions avec un même dénominateur

• Pour comparer 4/5 et 13/20, on écrit 4/5 = 16/20 ; comme 16/20 est supérieur à 13/20, 4/5 est supérieur à 13/20.

💡 Astuce mémo

Une fraction garde sa valeur quand on multiplie ou divise son haut et son bas par le même nombre non nul.

📖 5. Calculs avec les fractions

★ À maîtriser

📌 Pour des fractions de même dénominateur b ≠ 0, on additionne ou soustrait les numérateurs : $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$ et $\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}$.

• Pour additionner ou soustraire des fractions de dénominateurs différents, on les transforme en fractions de même dénominateur, puis on additionne ou soustrait les numérateurs et on simplifie si possible.

Compléments

• Le calcul -1/4 + 3/4 donne 2/4, qui se simplifie en 1/2.

• Le calcul -3 - 2/5 se transforme en -3/1 - 2/5 = -15/5 - 2/5 = -17/5.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur → calculer les numérateurs → simplifier.

📊 Tableaux de synthèse

Types de nombres