QCM : Nombres relatifs et théorème de Pythagore — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que désigne l’ensemble des nombres relatifs ?

L’ensemble des nombres supérieurs à zéro et de zéro
L’ensemble des nombres décimaux et des nombres entiers naturels
L’ensemble des nombres positifs et des nombres négatifs
L’ensemble des nombres entiers positifs et des fractions positives

L’ensemble des nombres positifs et des nombres négatifs

Explication

Les nombres relatifs regroupent les nombres positifs et les nombres négatifs. L’ensemble ne se limite ni aux entiers ni aux nombres décimaux, et il comprend des valeurs des deux signes.

2. Quelle affirmation classe correctement les deux nombres suivants : −24,1-24,1 et 17,317,3 ?

−24,1-24,1 est négatif et 17,317,3 est positif
Les deux nombres sont positifs car leurs distances à zéro sont positives
−24,1-24,1 est positif et 17,317,3 est négatif
Les deux nombres sont négatifs car ils appartiennent aux nombres relatifs

$$-24,1$$ est négatif et $$17,3$$ est positif

Explication

Le signe moins devant 24,124,1 indique que ce nombre est négatif, tandis que l’absence de signe moins devant 17,317,3 indique qu’il est positif. La distance à zéro est positive, mais elle ne détermine pas le signe du nombre.

3. Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, quelle règle faut-il appliquer ?

Conserver le signe du terme le plus éloigné de zéro et soustraire les distances
Changer les deux signes puis additionner leurs distances à zéro
Conserver leur signe et additionner leurs distances à zéro
Choisir le signe du terme le plus proche de zéro et soustraire les distances

Conserver leur signe et additionner leurs distances à zéro

Explication

Deux nombres relatifs de même signe donnent une somme portant ce même signe, dont la distance à zéro est la somme des deux distances. La soustraction des distances concerne l’addition de nombres de signes contraires.

4. Quel résultat obtient-on en additionnant deux nombres relatifs de signes contraires lorsque le nombre négatif a la plus grande distance à zéro ?

Un nombre positif dont la distance à zéro est la somme des distances
Un nombre négatif dont la distance à zéro est la différence des distances
Zéro, quelle que soit la différence entre les distances
Un nombre négatif dont la distance à zéro est la somme des distances

Un nombre négatif dont la distance à zéro est la différence des distances

Explication

Pour des signes contraires, la somme prend le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro et sa distance à zéro est obtenue par différence. La somme des distances s’applique aux nombres de même signe.

5. Quelle est la somme de deux nombres relatifs opposés, comme +3+3 et −3-3 ?

Elle est égale à zéro
Elle conserve le signe du premier nombre
Elle est positive et égale à six
Elle est négative et égale à six

Elle est égale à zéro

Explication

Deux nombres opposés ont la même distance à zéro et des signes contraires ; leur somme est donc nulle. Additionner leurs distances donnerait une valeur non nulle, ce qui correspondrait à une addition de nombres de même signe.

6. Comment transformer la soustraction d’un nombre relatif dans une expression ?

La remplacer par une multiplication par −1-1 sans modifier l’opération
La remplacer par l’addition du même nombre avec son signe conservé
La remplacer par l’addition de son opposé
La remplacer par la soustraction de l’opposé du nombre

La remplacer par l’addition de son opposé

Explication

Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé : par exemple, soustraire +11+11 devient ajouter −11-11. Conserver le nombre sans changer son signe ne réalise pas cette transformation.

7. Quelle propriété permet de modifier l’ordre des termes et de les regrouper dans une addition sans changer la somme ?

La commutativité et l’associativité de l’addition
La transformation de chaque terme en son opposé
La conservation de l’ordre propre aux expressions soustractives
La distributivité de la soustraction sur les nombres relatifs

La commutativité et l’associativité de l’addition

Explication

Dans une addition, la commutativité autorise le changement d’ordre et l’associativité autorise le regroupement des termes. Ces propriétés ne permettent pas de réorganiser une soustraction inchangée comme s’il s’agissait d’une addition.

8. Quelle démarche est correcte pour calculer une expression contenant des additions et des soustractions ?

Transformer les soustractions en additions de leurs opposés, regrouper les termes, puis calculer
Additionner les distances à zéro avant de déterminer les signes des termes
Effectuer les soustractions dans l’ordre, puis modifier l’ordre des résultats obtenus
Regrouper d’abord tous les nombres positifs, puis conserver les soustractions restantes

Transformer les soustractions en additions de leurs opposés, regrouper les termes, puis calculer

Explication

La méthode consiste d’abord à remplacer chaque soustraction par une addition de l’opposé, puis à regrouper les termes et à effectuer les calculs. Modifier l’ordre avant cette transformation peut changer le sens des soustractions.

9. Quelle interprétation est correcte pour l’inégalité x≤−5x \leq -5 ?

La valeur xx doit être égale à 55
La valeur xx doit être supérieure à −5-5
La valeur −5-5 est exclue pour xx
La valeur −5-5 est admise pour xx

La valeur $$-5$$ est admise pour $$x$$

Explication

Le symbole ≤\leq signifie « inférieur ou égal à », donc x=−5x=-5 respecte cette inégalité. En revanche, le symbole << aurait exclu la valeur −5-5.

10. Entre les nombres négatifs −3,2-3,2 et −1,7-1,7, lequel est le plus grand ?

−3,2-3,2, car sa distance à zéro est plus grande
−3,2-3,2, car son écriture commence par le plus grand chiffre
Les deux nombres sont égaux, car ils sont négatifs
−1,7-1,7, car il est plus proche de zéro

$$-1,7$$, car il est plus proche de zéro

Explication

Parmi deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui est le plus proche de zéro ; ainsi, −1,7>−3,2-1,7 > -3,2. Une distance plus grande à zéro correspond au contraire à un nombre négatif plus petit.

11. Quelle comparaison est vraie entre −4,6-4,6 et 2,12,1 ?

2,1=−4,62,1 = -4,6, car les deux nombres ont une partie décimale
−4,6>2,1-4,6 > 2,1, car sa valeur absolue est plus grande
2,1>−4,62,1 > -4,6, car tout positif dépasse tout négatif
2,1<−4,62,1 < -4,6, car le nombre négatif est placé à gauche

$$2,1 > -4,6$$, car tout positif dépasse tout négatif

Explication

Tout nombre positif est supérieur à tout nombre négatif, donc 2,1>−4,62,1 > -4,6. La valeur absolue ne renverse pas cette règle de comparaison entre un positif et un négatif.

12. Comment définit-on la racine carrée d’un nombre positif aa ?

C’est le double du nombre aa
C’est le nombre négatif dont le carré vaut aa
C’est le nombre positif dont le carré vaut aa
C’est le nombre dont le cube vaut aa

C’est le nombre positif dont le carré vaut $$a$$

Explication

La racine carrée de aa est le nombre positif dont le carré est égal à aa, et elle se note a\sqrt{a}. Un nombre négatif peut avoir le même carré, mais il n’est pas la racine carrée définie par cette notation.

13. Quelle est la valeur de 4\sqrt{4} ?

−2-2, car (−2)2=4(-2)^2=4
22, car 22=42^2=4
1616, car 42=164^2=16
44, car le nombre reste inchangé sous la racine

$$2$$, car $$2^2=4$$

Explication

La racine carrée désigne le nombre positif dont le carré est égal au nombre donné ; comme 22=42^2=4, on a 4=2\sqrt{4}=2. Même si −2-2 a aussi pour carré 44, il n’est pas la valeur de la racine carrée principale.

14. Dans un triangle rectangle, quelle relation exprime le théorème de Pythagore si hh désigne l’hypoténuse et pp et qq les deux autres côtés ?

h2=p2+q2h^2=p^2+q^2
h=p2+q2h=p^2+q^2
p2=h2+q2p^2=h^2+q^2
h2=p+qh^2=p+q

$$h^2=p^2+q^2$$

Explication

Le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, soit h2=p2+q2h^2=p^2+q^2. Les deux côtés de l’angle droit apparaissent donc dans la somme, tandis que l’hypoténuse est isolée au carré.

15. Pour trouver la longueur d’un côté inconnu qui n’est pas l’hypoténuse dans un triangle rectangle, quelle démarche convient ?

Élever le côté connu au carré, puis soustraire la longueur de l’hypoténuse
Additionner les longueurs connues, puis diviser leur somme par deux
Écrire Pythagore, isoler le carré recherché, puis extraire sa racine
Extraire directement la racine carrée de la somme des longueurs connues

Écrire Pythagore, isoler le carré recherché, puis extraire sa racine

Explication

Il faut d’abord écrire l’égalité de Pythagore, remplacer les longueurs connues, isoler le carré de la longueur cherchée, puis prendre la racine carrée. La somme des carrés s’applique à l’hypoténuse ; pour un autre côté, on effectue une soustraction avant l’extraction de la racine.

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Mémorisez les réponses avec 30 flashcards sur Nombres relatifs et théorème de Pythagore.

Que sont les nombres relatifs ?

L'ensemble des nombres positifs et négatifs.

Que devient le signe de la somme de deux nombres relatifs de même signe ?

Elle garde ce signe.

Comment calcule-t-on la distance à zéro de la somme de deux nombres relatifs de même signe ?

C'est la somme des distances à zéro des deux termes.

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