Fiche de révision : Ondes et propagation

📋 Plan du Cours

1. Définition et types d’ondes
2. Célérité et propriétés du milieu
3. Ondes progressives périodiques
4. Dispersion et vitesses d’onde
5. Équation de propagation
6. Ondes électromagnétiques dans le vide
7. Polarisation et énergie électromagnétique
8. Ondes acoustiques et impédance
9. Réflexion et intensité acoustiques

📖 1. Définition et types d’ondes

🔑 Notions clés & Définitions

• Onde : Propagation d’une perturbation qui produit sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales et transporte de l’énergie sans transporter de matière.
• Surface d’ondes : Ensemble des points qui présentent une déformation égale.

★ À maîtriser

📌 Les ondes mécaniques, comme les ondes sur une corde, à la surface d’un liquide ou sonores, nécessitent un milieu matériel élastique, tandis que les ondes électromagnétiques peuvent se propager dans le vide.

📌 Dans une onde longitudinale, les points du milieu se déplacent dans la direction de propagation, tandis que dans une onde transversale, ils se déplacent perpendiculairement à cette direction.

Compléments

• Au passage d’une onde, un bateau peut s’élever d’une hauteur H et gagner une énergie potentielle mgH tout en restant à la même abscisse.

• Une onde peut se propager selon une, deux ou trois dimensions : une corde ou un ressort illustrent une propagation unidimensionnelle, une onde de surface une propagation bidimensionnelle et une onde sphérique une propagation tridimensionnelle.

💡 Astuce mémo

L’onde transporte de l’énergie, mais pas la matière.

📖 2. Célérité et propriétés du milieu

🔑 Notions clés & Définitions

• Célérité : Propriété du milieu de propagation qui, dans des conditions données, est constante dans un milieu donné et ne dépend pas de la manière dont la source a engendré l’onde.

★ À maîtriser

📐 Formule - La célérité d’une onde entre deux positions vérifie $c=\frac{x-x_0}{t-t_0}=\frac{d}{\Delta t}$.

📌 Pour une onde mécanique, un milieu plus rigide augmente généralement la célérité, tandis qu’une inertie plus grande, comme une masse linéique accrue sur une corde, la diminue.

Compléments

• La célérité du son dans l’air à 15 °C et 1 bar est de 340 m·s⁻¹.

• La célérité d’une onde électromagnétique est de 3·10⁸ m·s⁻¹ dans le vide et de 2·10⁸ m·s⁻¹ dans un câble coaxial.

• Sur une corde tendue, la célérité augmente avec la tension et diminue lorsque la masse linéique augmente.

📐 Formule - L’indice de réfraction vérifie $n=\frac{c_{\mathrm{vide}}}{c}$.

💡 Astuce mémo

Milieu plus rigide → célérité accrue ; inertie plus grande → célérité réduite.

📖 3. Ondes progressives périodiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Longueur d’onde : La longueur d’onde λ est la plus petite distance séparant deux points du milieu dans le même état vibratoire et relie la période spatiale à la période temporelle par λ=cT.

★ À maîtriser

• Une onde progressive se propageant vers les x croissants conserve son profil selon la forme e(x,t)=f(x−ct), tandis qu’une onde se propageant vers les x décroissants s’écrit e(x,t)=f(x+ct).

📐 Formule - Pour une vibration sinusoïdale de pulsation ω, un point situé à l’abscisse x reproduit le mouvement de l’origine avec un retard τ=x/c, ce qui donne $\psi(x,t)=A\cos\left(\omega\left(t-\frac{x}{c}\right)\right)=A\cos(\omega t-kx)$, avec $k=\frac{\omega}{c}=\frac{2\pi}{\lambda}$.

Compléments

• Une propagation dans les deux sens peut s’écrire comme la somme de deux profils, e(x,t)=f(x−ct)+g(x+ct).

📌 Si les variables spatiale x et temporelle t se séparent sous la forme e(x,t)=f(x)g(t), l’onde est stationnaire plutôt que progressive.

• Dans une onde périodique, la perturbation se répète identiquement au cours du temps et les points séparés par une longueur d’onde vibrent en phase.

📖 4. Dispersion et vitesses d’onde

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de dispersion : Dépendance de la pulsation ω envers le nombre d’onde k dans un milieu dispersif, où ω n’est plus proportionnelle à k.

★ À maîtriser

📐 Formule - Une onde progressive sinusoïdale vers les x croissants s’écrit $\psi(x,t)=A\cos(\omega t-kx)$, tandis qu’une onde régressive s’écrit $\psi(x,t)=A\cos(\omega t+kx)$.

• Dans un milieu dispersif, la célérité dépend de la fréquence et une onde non monochromatique peut se déformer pendant sa propagation.

📐 Formule - La vitesse de phase est $v_{\varphi}=\frac{\omega}{k}$ et la vitesse de groupe est $v_g=\frac{d\omega}{dk}$.

Compléments

• Dans un milieu non dispersif, la célérité c est constante et k=ω/c.

• La vitesse de groupe représente en général la vitesse de propagation de l’énergie transportée par l’onde.

• La superposition de deux ondes de fréquences voisines produit un battement dont les maxima ou zéros se déplacent à la vitesse de phase et dont l’enveloppe se déplace à la vitesse de groupe.

💡 Astuce mémo

La phase suit les maxima ; le groupe suit l’enveloppe.

📖 5. Équation de propagation

★ À maîtriser

📐 Formule - L’équation de d’Alembert à une dimension est $\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}$ et sa forme tridimensionnelle est $\Delta\psi=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}$.

Compléments

• Les solutions unidimensionnelles de l’équation de d’Alembert sont la somme d’un profil se propageant vers chaque sens, ψ(x,t)=f(x−ct)+g(x+ct).

• Une solution plane progressive monochromatique sinusoïdale peut s’écrire ψ(x,t)=a cos(ωt−kx+φ).

• Pour une solution à symétrie sphérique, le champ dépend du temps et de la distance r au centre, avec ψ(r,t)=\frac{1}{r}\left[f(t−r/c)+g(t+r/c)\right].

📌 Une onde stationnaire sur une corde vibrante peut s’écrire comme le produit d’une fonction spatiale et d’une fonction temporelle, ψ(x,t)=f(x)g(t).

📐 Formule - La tension V et le courant i dans une ligne électrique vérifient $\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}=LC\frac{\partial^2 V}{\partial t^2}$ et $\frac{\partial^2 i}{\partial x^2}=LC\frac{\partial^2 i}{\partial t^2}$, avec une célérité $c=\frac{1}{\sqrt{LC}}$.

📖 6. Ondes électromagnétiques dans le vide

★ À maîtriser

• Dans le vide sans charge ni courant, les champs électrique E et magnétique B vérifient les équations de Maxwell, dont le couplage est à l’origine de la propagation du champ électromagnétique.

📐 Formule - Dans le vide, les champs électromagnétiques vérifient $\Delta E=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}$ et $\Delta B=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2 B}{\partial t^2}$, avec $c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$.

📌 Une onde électromagnétique se propageant selon z dans le vide est transversale : ses composantes longitudinales Ez et Bz sont nulles.

Compléments

📐 Formule - Pour une propagation électromagnétique selon z, la solution générale d’une composante du champ est la somme de deux ondes progressives, l’une vers z croissant et l’autre vers z décroissant : $E_x=f(t-z/c)+g(t+z/c)$.

• Dans une onde électromagnétique plane dans le vide, E et B sont perpendiculaires entre eux et à la direction de propagation, et forment un trièdre direct avec celle-ci.

📐 Formule - Pour une onde électromagnétique plane dans le vide, les champs vérifient $B=\frac{E}{c}$ en amplitude et $B=\frac{1}{c}\,\mathbf{u}\times E$ en notation vectorielle, où u indique la direction de propagation.

📖 7. Polarisation et énergie électromagnétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur de Poynting : Le vecteur de Poynting est le flux d’énergie du champ électromagnétique au travers d’une surface et s’écrit $\mathbf{\pi}=\frac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}}{\mu_0}$.
• Impédance du vide : Rapport entre l’amplitude du champ électrique et celle du champ magnétique d’une onde plane dans le vide, soit Z=μ₀E/B=μ₀c, et vaut 376 Ω.

★ À maîtriser

📌 Une onde sinusoïdale est polarisée rectilignement si ses composantes ont des phases égales ou décalées de π, car la direction de E reste alors invariable.

• Lorsque les composantes de E sont déphasées de π/2, l’extrémité du champ électrique décrit une ellipse et la polarisation est elliptique.

Compléments

• Lorsque les composantes de E sont déphasées de π/2 et ont des amplitudes égales, la polarisation elliptique devient circulaire.

📐 Formule - Pour une onde électromagnétique plane, l’intensité vérifie $I=\frac{E^2}{\mu_0c}=\frac{cB^2}{\mu_0}$.

📖 8. Ondes acoustiques et impédance

🔑 Notions clés & Définitions

• Surpression acoustique : La surpression acoustique p est la différence entre la pression absolue P du fluide et sa pression au repos P₀, soit p=P−P₀ ; p>0 correspond à une compression et p<0 à une dilatation.
• Impédance acoustique : L’impédance acoustique est le rapport entre la surpression p et le produit de la section S par la vitesse particulaire v, soit Z=p/(Sv) ; pour une onde plane progressive elle vaut ρ₀c/S et pour une onde régressive −ρ₀c/S.

★ À maîtriser

📌 Dans un fluide parfait, les ondes acoustiques sont longitudinales, car les ondes transversales ne peuvent pas s’y propager.

📐 Formule - La célérité du son dans un fluide parfait vérifie $c=\frac{1}{\sqrt{\rho_0\chi_S}}$, où ρ₀ est la masse volumique au repos et χS le coefficient de compressibilité isentropique.

Compléments

📐 Formule - Le déplacement particulaire ψ et la surpression acoustique p dans un fluide parfait vérifient $\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}+\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p}{\partial x}=0$.

📐 Formule - Pour un gaz parfait, la célérité du son vérifie $c=\sqrt{\frac{\gamma P_0}{\rho_0}}=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$.

📐 Formule - Une surpression acoustique dans un fluide parfait vérifie l’équation de propagation $\Delta p=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2p}{\partial t^2}$.

📖 9. Réflexion et intensité acoustiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Intensité acoustique : Puissance transportée par les ondes sonores dans une direction donnée, perpendiculairement à une surface unité, et correspondant au module du vecteur de flux acoustique.

★ À maîtriser

📌 À une discontinuité d’impédance en incidence normale, une onde incidente donne généralement une onde réfléchie et une onde transmise ; si les impédances sont égales, il n’y a pas d’onde réfléchie.

📐 Formule - Pour deux milieux d’impédances Z₁ et Z₂ en incidence normale, le coefficient de réflexion en pression est $r=\frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1}$ et le coefficient de transmission en pression est $t=\frac{2Z_2}{Z_1+Z_2}$.

• À l’interface air-muscle, la réflexion acoustique vaut 99,9 % et la transmission 0,1 %, ce qui justifie l’usage d’un gel pour éviter une couche d’air en échographie.

Compléments

• Le coefficient de réflexion positif indique que l’onde réfléchie est en phase avec l’onde incidente, tandis qu’un coefficient négatif indique une opposition de phase.

📐 Formule - En incidence normale, les coefficients énergétiques de réflexion et de transmission sont $\mathcal{R}=\left(\frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1}\right)^2$ et $T=\frac{4Z_1Z_2}{(Z_1+Z_2)^2}$.

• À l’interface graisse-muscle, la transmission acoustique vaut 98,9 % et la réflexion 1,1 %, rendant l’interface peu visible.

📐 Formule - Pour une onde acoustique plane, l’intensité instantanée vérifie $I=pv$ et l’intensité moyenne d’une onde sinusoïdale de surpression d’amplitude p₀ vaut $\langle I\rangle=\frac{p_0^2}{2\rho_0c}$.

• L’intensité minimale audible est I₀=10⁻¹² W·m⁻² et le seuil de douleur est 1 W·m⁻².

📐 Formule - Le niveau sonore est une grandeur sans dimension définie par $I_{\mathrm{dB}}=10\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)$.

💡 Astuce mémo

À impédances égales, pas d’onde réfléchie ; à l’interface air-muscle, la réflexion domine.