Fiche de révision : Mathématiques générales et analyse

📋 Plan du Cours

1. Calcul algébrique et ensembles
2. Domaines et parité des fonctions
3. Équations et inéquations
4. Étude des fonctions polynomiales
5. Systèmes et problèmes de mouvement
6. Congruences et limites

📖 1. Calcul algébrique et ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Complémentaire : Le complémentaire d’un ensemble est considéré ici dans $\mathbb{R}$.

★ À maîtriser

• Développer un produit de facteurs consiste à appliquer la distributivité pour obtenir une somme de termes.

• Factoriser une expression consiste à l’écrire sous la forme d’un produit, notamment en reconnaissant une identité remarquable ou un facteur commun.

• L’ensemble $B$ contient quatre éléments et son cardinal est donc $4$.

Compléments

• Dans l’exercice sur les ensembles, $A=]-\infty;-4]$, $B=\{-1{,}5;9;-3;2\}$ et $C=]-11{,}5;10]$.

📖 2. Domaines et parité des fonctions

★ À maîtriser

• Déterminer le domaine d’une fonction impose de retenir les valeurs de la variable pour lesquelles son expression est définie.

📌 Une fonction est paire si son domaine est symétrique par rapport à zéro et si ses valeurs vérifient $f(-x)=f(x)$; elle est impaire si son domaine est symétrique par rapport à zéro et si $f(-x)=-f(x)$.

Compléments

• Les fonctions à étudier sont $f_1(x)=\frac{x}{1+|x|}$, $f_2(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{1-x}$ et $f_3(x)=x^3(3-|x|)$.

📖 3. Équations et inéquations

★ À maîtriser

• Résoudre une équation ou une inéquation consiste à déterminer l’ensemble des valeurs de la variable qui rendent l’égalité ou l’ordre vrai.

• Un système de deux équations à deux inconnues se résout en déterminant les couples $(x,y)$ qui satisfont simultanément ses deux équations.

Compléments

• L’exercice propose les équations $3x+5=-4x+2$, $x\sqrt{x+1}=0$ et $\frac{x}{x-1}=2$.

• L’exercice propose les inéquations $4x-1<-x+3$ et $x-1\leq 2x<10$.

• Les trois systèmes proposés sont $\begin{cases}2x-y=6\\-3x-5y=1\end{cases}$, $\begin{cases}x-2y=-3\\-3y-2x=4\end{cases}$ et $\begin{cases}x-4y+1=5\\5-x+3y=-1\end{cases}$.

📖 4. Étude des fonctions polynomiales

★ À maîtriser

• La fonction polynomiale étudiée est $f_1(x)=-x^2+x+2$.

• L’étude demandée d’une fonction polynomiale comprend ses racines, ses formes canonique et factorisée, ses tableaux de signe et de variation, ainsi que ses limites en $\pm\infty$.

Compléments

• La seconde fonction étudiée est $f_2(x)=-x+2$.

📌 Les points d’intersection des courbes de $f_1$ et $f_2$ sont obtenus en résolvant $f_1(x)=f_2(x)$, puis en calculant l’ordonnée correspondante.

📌 Résoudre $f_1(x)\leq 2$ revient à déterminer les abscisses pour lesquelles la courbe de $f_1$ est située au-dessous ou sur la droite d’équation $y=2$.

📖 5. Systèmes et problèmes de mouvement

★ À maîtriser

• Le premier cycliste part à 9 h et roule à vitesse constante de 15 km/h, tandis que son ami part du même endroit à 10 h et roule à 20 km/h.

Compléments

• Pour déterminer quand le second cycliste rattrape le premier, on compare leurs distances parcourues depuis le même point de départ en tenant compte de leurs heures de départ différentes.

📖 6. Congruences et limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Modulo : Le modulo désigne l’opération demandée ici pour calculer le reste associé à une division par un entier.

★ À maîtriser

• Pour calculer une limite, on décompose l’expression et on examine les limites de ses différentes parties; si la limite est nulle, on précise si elle est atteinte par valeurs positives ou négatives.

Compléments

• Les calculs de modulo proposés sont $17\bmod 6$, $5\bmod(-10)$ et $-21\bmod 4$.

• Les limites à étudier sont $\lim_{x\to1^+}\frac{5+2x}{x(x-1)}$, $\lim_{x\to-\infty}\frac{3+x^3}{x^2+2x-4}$ et $\lim_{x\to5^-}\left(1-\frac{1}{x-5}\right)\sqrt{5-x}$.