QCM : Opérations sur les limites (9 questions)

Question 1

1. Près d’un point $a$ , le numérateur $f(x)$ tend vers $+\infty$ et le dénominateur $g(x)$ tend vers $0$ en restant positif. Quelle est la limite de $\frac{f(x)}{g(x)}$ ?

une forme indéterminée

0

-\infty

+\infty

Explication

Un numérateur positif ou tendant vers $+\infty$ divisé par un dénominateur positif tendant vers zéro donne $+\infty$ . $-\infty$ inverse à tort le signe, $0$ ne correspond pas à un numérateur infini, et une forme indéterminée n’est pas déterminée par ces signes.

Answer

$$+\infty$$

Question 2

2. Dans un calcul de limite, $f(x)$ et $g(x)$ tendent toutes deux vers $+\infty$ . Vers quoi tend leur produit ?

Vers

0

.

Vers une forme indéterminée.

Vers

+\infty

.

Vers

-\infty

.

Explication

Le produit de deux quantités tendant vers $+\infty$ tend vers $+\infty$ . $-\infty$ correspond à des signes opposés, tandis que la forme indéterminée concerne notamment le produit d’une limite nulle par une limite infinie.

Answer

Vers $$+\infty$$.

Question 3

3. Une fonction $f$ tend vers la limite finie $-6$ et une fonction $g$ vers $+\infty$ . Quelle est la limite de leur quotient $\frac{f}{g}$ ?

une forme indéterminée

0

-\infty

+\infty

Explication

Une limite finie divisée par une limite infinie donne une limite nulle, quel que soit le signe de la limite finie. $-\infty$ ou $+\infty$ résultent d’une confusion avec un numérateur infini, et la forme indéterminée concerne notamment le quotient de deux limites infinies.

Answer

$$+\infty$$

Answer

La somme est de forme indéterminée.

Answer

$$+\infty$$

Answer

Le produit est de forme indéterminée.

Answer

Le quotient est une forme indéterminée

Question 4

4. À l’approche de $a$ , $f(x)$ tend vers $-\infty$ tandis que $g(x)$ tend vers $0$ par valeurs négatives. Vers quoi tend $\frac{f(x)}{g(x)}$ ?

+\infty

-\infty

une forme indéterminée

0

Explication

Le quotient de deux quantités négatives est positif ; ici, avec un numérateur tendant vers $-\infty$ et un dénominateur négatif tendant vers zéro, le quotient tend vers $+\infty$ . $-\infty$ néglige le signe du dénominateur, et $0$ ou une forme indéterminée ne décrivent pas ce cas.

Question 5

5. Une fonction $f$ tend vers $+\infty$ et une fonction $g$ vers $-\infty$ . Que peut-on conclure sur la limite de $f+g$ à partir de ces seules informations ?

La somme tend vers

0

.

La somme est de forme indéterminée.

La somme tend vers

-\infty

.

La somme tend vers

+\infty

.

Explication

Des termes qui tendent vers des infinis de signes opposés donnent une forme indéterminée : leur comparaison est nécessaire pour déterminer le comportement de la somme. Conclure à $0$ suppose une compensation exacte, tandis que les deux conclusions infinies ignorent l’un des termes.

Question 6

6. Quand $x$ tend vers une valeur donnée, $f(x)$ tend vers $-\infty$ et $g(x)$ vers une limite finie strictement négative. Vers quoi tend $\frac{f(x)}{g(x)}$ ?

-\infty

0

une forme indéterminée

+\infty

Explication

Diviser une limite infinie par une limite finie strictement négative inverse le signe de l’infini : ici, le quotient tend vers $+\infty$ . $-\infty$ conserve à tort le signe, tandis que $0$ et la forme indéterminée ne s’appliquent pas à cette configuration.

Question 7

7. Une fonction $f$ tend vers $0$ et une fonction $g$ tend vers $+\infty$ . Que peut-on conclure sur la limite de $f(x)g(x)$ sans information supplémentaire ?

Le produit tend vers

-\infty

.

Le produit tend vers

+\infty

.

Le produit est de forme indéterminée.

Le produit tend vers

0

.

Explication

Le produit d’une limite nulle par une limite infinie est de forme indéterminée : il faut connaître les comportements plus précis des fonctions pour déterminer le résultat. Conclure à $0$ ou à $+\infty$ revient à supposer sans justification qu’un facteur l’emporte sur l’autre.

Question 8

8. Dans une étude de limite, le numérateur et le dénominateur d’un quotient tendent tous deux vers $0$ . Que peut-on conclure sur la limite du quotient à partir de ces seules informations ?

Le quotient est une forme indéterminée

Le quotient tend vers

-\infty

Le quotient tend vers

0

Le quotient tend vers

+\infty

Explication

Lorsque le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers zéro, leur quotient constitue une forme indéterminée : ces seules limites ne suffisent pas à déterminer celle du quotient. Conclure $0$ ou un infini impose une règle qui ne s’applique pas à la forme $\frac{0}{0}$ .

Question 9

9. Lorsque $f(x)$ tend vers $4$ et $g(x)$ tend vers $-7$ , vers quelle limite tend $f(x)+g(x)$ ?

-3

-28

11

3

Explication

Lorsque les deux limites sont finies, la limite de la somme est la somme des limites : $4+(-7)=-3$ . $11$ vient de l’addition des valeurs absolues, $3$ d’une soustraction et $-28$ d’un produit.

QCM : Opérations sur les limites (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Près d’un point $a$ , le numérateur $f(x)$ tend vers $+\infty$ et le dénominateur $g(x)$ tend vers $0$ en restant positif. Quelle est la limite de $\frac{f(x)}{g(x)}$ ?

2. Dans un calcul de limite, $f(x)$ et $g(x)$ tendent toutes deux vers $+\infty$ . Vers quoi tend leur produit ?

3. Une fonction $f$ tend vers la limite finie $-6$ et une fonction $g$ vers $+\infty$ . Quelle est la limite de leur quotient $\frac{f}{g}$ ?

4. À l’approche de $a$ , $f(x)$ tend vers $-\infty$ tandis que $g(x)$ tend vers $0$ par valeurs négatives. Vers quoi tend $\frac{f(x)}{g(x)}$ ?

5. Une fonction $f$ tend vers $+\infty$ et une fonction $g$ vers $-\infty$ . Que peut-on conclure sur la limite de $f+g$ à partir de ces seules informations ?

6. Quand $x$ tend vers une valeur donnée, $f(x)$ tend vers $-\infty$ et $g(x)$ vers une limite finie strictement négative. Vers quoi tend $\frac{f(x)}{g(x)}$ ?

7. Une fonction $f$ tend vers $0$ et une fonction $g$ tend vers $+\infty$ . Que peut-on conclure sur la limite de $f(x)g(x)$ sans information supplémentaire ?

8. Dans une étude de limite, le numérateur et le dénominateur d’un quotient tendent tous deux vers $0$ . Que peut-on conclure sur la limite du quotient à partir de ces seules informations ?

9. Lorsque $f(x)$ tend vers $4$ et $g(x)$ tend vers $-7$ , vers quelle limite tend $f(x)+g(x)$ ?

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QCM : Opérations sur les limites (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Près d’un point aaa, le numérateur f(x)f(x)f(x) tend vers +∞+\infty+∞ et le dénominateur g(x)g(x)g(x) tend vers 000 en restant positif. Quelle est la limite de f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)}g(x)f(x)​ ?

2. Dans un calcul de limite, f(x)f(x)f(x) et g(x)g(x)g(x) tendent toutes deux vers +∞+\infty+∞. Vers quoi tend leur produit ?

3. Une fonction fff tend vers la limite finie −6-6−6 et une fonction ggg vers +∞+\infty+∞. Quelle est la limite de leur quotient fg\frac{f}{g}gf​ ?

4. À l’approche de aaa, f(x)f(x)f(x) tend vers −∞-\infty−∞ tandis que g(x)g(x)g(x) tend vers 000 par valeurs négatives. Vers quoi tend f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)}g(x)f(x)​ ?

5. Une fonction fff tend vers +∞+\infty+∞ et une fonction ggg vers −∞-\infty−∞. Que peut-on conclure sur la limite de f+gf+gf+g à partir de ces seules informations ?

6. Quand xxx tend vers une valeur donnée, f(x)f(x)f(x) tend vers −∞-\infty−∞ et g(x)g(x)g(x) vers une limite finie strictement négative. Vers quoi tend f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)}g(x)f(x)​ ?

7. Une fonction fff tend vers 000 et une fonction ggg tend vers +∞+\infty+∞. Que peut-on conclure sur la limite de f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) sans information supplémentaire ?

8. Dans une étude de limite, le numérateur et le dénominateur d’un quotient tendent tous deux vers 000. Que peut-on conclure sur la limite du quotient à partir de ces seules informations ?

9. Lorsque f(x)f(x)f(x) tend vers 444 et g(x)g(x)g(x) tend vers −7-7−7, vers quelle limite tend f(x)+g(x)f(x)+g(x)f(x)+g(x) ?

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1. Près d’un point $a$ , le numérateur $f(x)$ tend vers $+\infty$ et le dénominateur $g(x)$ tend vers $0$ en restant positif. Quelle est la limite de $\frac{f(x)}{g(x)}$ ?

2. Dans un calcul de limite, $f(x)$ et $g(x)$ tendent toutes deux vers $+\infty$ . Vers quoi tend leur produit ?

3. Une fonction $f$ tend vers la limite finie $-6$ et une fonction $g$ vers $+\infty$ . Quelle est la limite de leur quotient $\frac{f}{g}$ ?

4. À l’approche de $a$ , $f(x)$ tend vers $-\infty$ tandis que $g(x)$ tend vers $0$ par valeurs négatives. Vers quoi tend $\frac{f(x)}{g(x)}$ ?

5. Une fonction $f$ tend vers $+\infty$ et une fonction $g$ vers $-\infty$ . Que peut-on conclure sur la limite de $f+g$ à partir de ces seules informations ?

6. Quand $x$ tend vers une valeur donnée, $f(x)$ tend vers $-\infty$ et $g(x)$ vers une limite finie strictement négative. Vers quoi tend $\frac{f(x)}{g(x)}$ ?

7. Une fonction $f$ tend vers $0$ et une fonction $g$ tend vers $+\infty$ . Que peut-on conclure sur la limite de $f(x)g(x)$ sans information supplémentaire ?

8. Dans une étude de limite, le numérateur et le dénominateur d’un quotient tendent tous deux vers $0$ . Que peut-on conclure sur la limite du quotient à partir de ces seules informations ?

9. Lorsque $f(x)$ tend vers $4$ et $g(x)$ tend vers $-7$ , vers quelle limite tend $f(x)+g(x)$ ?