Fiche de révision : Outils mathématiques et analyse dimensionnelle

📋 Plan du Cours

1. Analyse dimensionnelle et unités SI
2. Géométrie et trigonométrie
3. Fractions et puissances
4. Logarithmes et exponentielles
5. Dérivées et primitives usuelles

📖 1. Analyse dimensionnelle et unités SI

★ À maîtriser

📐 Formule — Les relations usuelles sont $1\,\mathrm{L}=1\,\mathrm{dm^3}$, $1\,\mathrm{bar}=10^5\,\mathrm{Pa}$, $T(\mathrm K)=\theta(^{\circ}\mathrm C)+273{,}15$ et $360^{\circ}=2\pi\,\mathrm{rad}$.

📐 Formule — Les relations physiques données sont $[S]=L^2$, $[V]=L^3$, $v=\frac{dx}{dt}$, $a=\frac{d^2x}{dt^2}$, $f=\frac{1}{T}$, $\rho=\frac{m}{V}$, $F=ma$, $P=\frac{F}{S}$, $E_c=\frac{1}{2}mv^2$, $P=\frac{dE}{dt}$, $I=\frac{dq}{dt}$, $P=UI$ et $U=RI$.

📌 Deux grandeurs sont homogènes si elles ont la même dimension, et une grandeur sans dimension a une dimension nulle.

• Les dimensions fondamentales sont:

  • la masse M
  • la longueur L
  • le temps T
  • l’intensité électrique I
  • la température θ
  • l’intensité lumineuse J
  • la quantité de matière N

• Les unités SI correspondantes sont:

  • le kilogramme (kg)
  • le mètre (m)
  • la seconde (s)
  • l’ampère (A)
  • le kelvin (K)
  • la candela (cd)
  • la mole (mol)

Compléments

• Les préfixes décimaux sont:
  • tera 10^12
  • giga 10^9
  • méga 10^6
  • kilo 10^3
  • hecto 10^2
  • déca 10^1
  • déci 10^-1
  • centi 10^-2
  • milli 10^-3
  • micro 10^-6

💡 Astuce mémo

Dimension = nature physique ; unité = étalon de mesure

📖 2. Géométrie et trigonométrie

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un cercle de rayon r, le périmètre est $P=2\pi r$ et l’aire est $A=\pi r^2$.

📐 Formule — Pour une sphère de rayon r, l’aire est $A=4\pi r^2$ et le volume est $V=\frac{4}{3}\pi r^3$.

📐 Formule — Pour un cylindre de rayon r et de hauteur H, l’aire est $A=2\pi r^2+2\pi rH$ et le volume est $V=\pi r^2H$.

📐 Formule — Le théorème de Pythagore donne $AB^2+AC^2=BC^2$.

📐 Formule — Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$, $(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$ et $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.

📐 Formule — Les relations trigonométriques fondamentales sont $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$, $\cos(\pi/2-\theta)=\sin\theta$ et $\sin(\pi/2-\theta)=\cos\theta$.

Compléments

📐 Formule — Pour un arc d’angle α et de rayon r, la longueur vaut $AB=\alpha r$ et l’aire du secteur vaut $A=\frac{\alpha}{2}r^2$.

📖 3. Fractions et puissances

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les règles de fractions sont $\frac1a=a^{-1}$, $\frac ab=a\times b^{-1}$, $\frac ab+\frac cd=\frac{ad+cb}{bd}$, $\frac ab\times\frac cd=\frac{ac}{bd}$ et $\frac{1}{a/b}=\frac ba$.

📐 Formule — Les règles des puissances sont $x^0=1$, $x^n=x\times\cdots\times x$, $x^m=\frac1{x^{-m}}$ pour m négatif, $(xy)^n=x^ny^n$, $x^nx^m=x^{n+m}$, $\frac{x^n}{x^m}=x^{n-m}$ et $(x^m)^n=x^{mn}$.

💡 Astuce mémo

Fractionner, multiplier, additionner ; puis additionner les exposants

📖 4. Logarithmes et exponentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Strictement croissant, continu et dérivable sur ]0,+∞[, il vérifie $\ln'(x)=1/x$, $\ln(1)=0$ et $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$.
• Exponentielle : La fonction $\exp(x)=e^x$, croissante, continue et dérivable sur ℝ, telle que $\exp'(x)=\exp(x)$ et $e^x>0$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le logarithme népérien vérifie $\ln(x/y)=\ln(x)-\ln(y)$ et $\ln(x^n)=n\ln(x)$ pour x,y>0 et n entier.

📐 Formule — Les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont réciproques : $e^{\ln x}=x$ pour x>0 et $\ln(e^x)=x$ pour x réel.

• Il existe un unique nombre e positif tel que $\ln(e)=1$, appelé nombre de Néper, avec $e\approx2{,}718$.

Compléments

📐 Formule — Le logarithme décimal est défini par $\log(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(10)}$ et vérifie $\log(10^n)=n$.

💡 Astuce mémo

Le logarithme transforme les produits en sommes ; l’exponentielle les reconstruit

📖 5. Dérivées et primitives usuelles

★ À maîtriser

📐 Formule — Les dérivées usuelles sont $\left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2}$, $\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$, $\left(x^\alpha\right)'=\alpha x^{\alpha-1}$, $(\sqrt{x})'=\frac1{2\sqrt{x}}$, $(e^x)'=e^x$ et $(\ln x)'=1/x$.

📐 Formule — Les règles de dérivation sont $(\lambda f+\mu g)'=\lambda f'+\mu g'$, $(fg)'=f'g+fg'$, $\left(\frac1g\right)'=-\frac{g'}{g^2}$, $\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ et $(f^n)'=nf'f^{n-1}$.

📐 Formule — Les primitives usuelles sont $\int x^\alpha dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$ pour α≠-1, $\int\frac{dx}{x}=\ln(x)$, $\int e^{\alpha x}dx=\frac1\alpha e^{\alpha x}$ et $\int u'(x)\exp(u(x))dx=\exp(u(x))$.

📐 Formule — Les primitives composées vérifient $\int u'(x)u(x)^n dx=\frac{u(x)^{n+1}}{n+1}$ et $\int\frac{u'(x)}{u(x)}dx=\ln(u(x))$ lorsque u est continue, dérivable et ne s’annule pas.

Compléments

📐 Formule — Les dérivées composées vérifient $(\exp(f))'=f'\exp(f)$ et $(\ln(1+f))'=f'/f$ selon les expressions données dans le cours.

💡 Astuce mémo

Dériver descend vers f′ ; primitiver remonte vers F

📊 Tableaux de synthèse

Dimensions et unités SI