QCM : Outils mathématiques et analyse dimensionnelle — 18 questions

Question 1

1. Pour $x>0$ et $y>0$ , quelle transformation correcte s’applique au logarithme d’un quotient ?

\ln(x/y)=\ln(x)+\ln(y)

\ln(x/y)=\ln(x)-\ln(y)

\ln(x/y)=\ln(x)\ln(y)

\ln(x/y)=\ln(y)-\ln(x)

Explication

Le logarithme d’un quotient se transforme en différence entre les logarithmes du numérateur et du dénominateur. La somme correspond au logarithme d’un produit, et non à celui d’un quotient.

Answer

$$\ln(x/y)=\ln(x)-\ln(y)$$

Question 2

2. Un cercle de rayon $r$ a un périmètre et une aire donnés par quelles expressions ?

P=4\pi r

et

A=2\pi r^2

P=2\pi r^2

et

A=\pi r

P=\pi r^2

et

A=2\pi r

P=2\pi r

et

A=\pi r^2

Explication

Le périmètre d’un cercle est $2\pi r$ , tandis que son aire est $\pi r^2$ . L’aire dépend donc du carré du rayon, contrairement au périmètre qui est proportionnel à ce rayon.

Answer

$$P=2\pi r$$ et $$A=\pi r^2$$

Question 3

3. Quelle propriété caractérise le logarithme népérien sur son domaine de définition ?

Il est défini sur

]-\infty,0[

, croissant et vérifie

\ln'(x)=1/x^2

.

Il est défini sur

]0,+\infty[

, strictement croissant et vérifie

\ln'(x)=1/x

.

Il est défini sur

\mathbb{R}

, strictement décroissant et vérifie

\ln'(x)=-1/x

.

Il est défini sur

[0,+\infty[

, constant en

1

et vérifie

\ln'(x)=x

.

Explication

Le logarithme népérien est défini pour les réels strictement positifs, où il est continu, dérivable et strictement croissant avec une dérivée égale à $1/x$ . La confusion fréquente consiste à lui attribuer le domaine réel de l’exponentielle.

Answer

Il est défini sur $$]0,+\infty[$$, strictement croissant et vérifie $$\ln'(x)=1/x$$.

Question 4

4. Deux grandeurs physiques sont dites homogènes lorsqu’elles possèdent quelle propriété ?

Elles ont la même unité dérivée

Elles ont la même valeur numérique

Elles ont la même dimension

Elles sont exprimées avec le même préfixe

Explication

Deux grandeurs sont homogènes si elles ont la même dimension, ce qui permet notamment de les comparer ou de les additionner dans une relation physique. Une même unité dérivée ou une même valeur numérique ne suffit pas à établir cette homogénéité.

Answer

Elles ont la même dimension

Question 5

5. Laquelle des propositions énumère correctement les sept dimensions fondamentales du Système international ?

La masse, la longueur, le temps, l’intensité électrique, la température, l’intensité lumineuse et la quantité de matière

La masse, la longueur, la vitesse, l’intensité électrique, la température, la pression et la quantité de matière

La force, la longueur, le temps, l’intensité électrique, l’énergie, l’intensité lumineuse et la quantité de matière

La masse, la surface, le temps, la tension électrique, la température, l’intensité lumineuse et la quantité de matière

Explication

Les dimensions fondamentales sont la masse, la longueur, le temps, l’intensité électrique, la température, l’intensité lumineuse et la quantité de matière. La surface, la vitesse, la force ou la pression sont des grandeurs dérivées, et non des dimensions fondamentales.

Answer

La masse, la longueur, le temps, l’intensité électrique, la température, l’intensité lumineuse et la quantité de matière

Question 6

6. Un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $H$ possède quel volume ?

V=\pi r^2H

V=2\pi r^2H

V=\pi rH^2

V=2\pi rH

Explication

Le volume d’un cylindre est l’aire de sa base, $\pi r^2$ , multipliée par sa hauteur $H$ , soit $V=\pi r^2H$ . L’expression $2\pi rH$ correspond à une partie de la surface latérale et ne représente pas un volume.

Answer

$$V=\pi r^2H$$

Question 7

7. Quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=1/x$ ?

f'(x)=1/x^2

f'(x)=-1/x^2

f'(x)=-1/x

f'(x)=1/x

Explication

La dérivée de $1/x$ est $-1/x^2$ , ce qui résulte de la règle de dérivation des puissances avec l’exposant $-1$ . La dérivée de $\ln x$ est au contraire positive sur son domaine et vaut $1/x$ .

Answer

$$f'(x)=-1/x^2$$

Question 8

8. Pour quel réel $x$ l’identité $\ln(e^x)=x$ est-elle valable ?

Pour tout

x\in]0,+\infty[

Pour tout

x\neq 0

Pour tout

x\in\mathbb{R}

Pour tout

x>0

Explication

Le logarithme népérien et l’exponentielle sont des fonctions réciproques, donc $\ln(e^x)=x$ pour tout réel. La condition $x>0$ concerne plutôt l’identité $e^{\ln x}=x$ , car l’argument du logarithme doit être positif.

Answer

Pour tout $$x\in\mathbb{R}$$

Question 9

9. Une température de $25\,^{\circ}\mathrm C$ correspond à quelle température en kelvins ?

248{,}15\,\mathrm K

273{,}15\,\mathrm K

298{,}15\,\mathrm K

325{,}15\,\mathrm K

Explication

La conversion s’effectue avec $T(\mathrm K)=\theta(^{\circ}\mathrm C)+273{,}15$ , donc $25+273{,}15=298{,}15\,\mathrm K$ . La valeur $273{,}15\,\mathrm K$ correspond à une température de $0\,^{\circ}\mathrm C$ .

Answer

$$298{,}15\,\mathrm K$$

Question 10

10. Si $u$ est continue, dérivable et ne s’annule pas, quelle primitive correspond à $\frac{u'(x)}{u(x)}$ ?

\frac{1}{u(x)}

u'(x)\ln(x)

\ln(u(x))

\frac{u(x)^2}{2}

Explication

La dérivée de $\ln(u(x))$ est $u'(x)/u(x)$ lorsque $u$ ne s’annule pas, d’où cette primitive. L’expression $u(x)^2/2$ correspondrait plutôt à une intégrale contenant un facteur $u'(x)u(x)$ .

Answer

$$\ln(u(x))$$

Question 11

11. Quelle expression obtient-on en additionnant $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ ?

\frac{ad-cb}{bd}

\frac{a+c}{b+d}

\frac{ad+cb}{bd}

\frac{ac+bd}{ab}

Explication

Pour additionner deux fractions, on utilise le dénominateur commun $bd$ et les numérateurs deviennent respectivement $ad$ et $cb$ . L’expression $\frac{a+c}{b+d}$ additionne séparément les numérateurs et les dénominateurs, ce qui n’est pas une règle valide.

Answer

$$\frac{ad+cb}{bd}$$

Question 12

12. Quelle primitive convient à $x^\alpha$ lorsque $\alpha\neq -1$ ?

\frac{x^\alpha}{\alpha}

\alpha x^{\alpha-1}

\frac{x^{\alpha-1}}{\alpha-1}

\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}

Explication

Une primitive de $x^\alpha$ est $x^{\alpha+1}/(\alpha+1)$ lorsque $\alpha\neq -1$ , car sa dérivée redonne $x^\alpha$ . L’expression $\alpha x^{\alpha-1}$ est une dérivée et non une primitive.

Answer

$$\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$$

Question 13

13. Quelle valeur approchée correspond au nombre positif $e$ défini par $\ln(e)=1$ ?

2,718

3,142

10,000

1,618

Explication

Le nombre de Néper est l’unique nombre positif dont le logarithme népérien vaut $1$ , et sa valeur approchée est $2,718$ . Le nombre $3,142$ correspond plutôt à une approximation de $\pi$ .

Answer

$$36\pi\,\mathrm{cm^3}$$

Answer

$$AB^2+AC^2=BC^2$$

Answer

$$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

Answer

Le kelvin, noté K

Answer

$$x^{n+m}$$

Question 14

14. Quel est le volume d’une sphère de rayon $3\,\mathrm{cm}$ ?

36\pi\,\mathrm{cm^3}

12\pi\,\mathrm{cm^3}

9\pi\,\mathrm{cm^3}

27\pi\,\mathrm{cm^3}

Explication

Le volume d’une sphère vaut $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ , donc pour $r=3\,\mathrm{cm}$ , $V=\frac{4}{3}\pi\times27=36\pi\,\mathrm{cm^3}$ . Les autres expressions ne résultent pas de cette formule appliquée à un rayon de trois centimètres.

Question 15

15. Dans un triangle rectangle en A, quelle relation relie les longueurs des côtés selon le théorème de Pythagore ?

AB^2+BC^2=AC^2

AB^2-AC^2=BC^2

AB+AC=BC^2

AB^2+AC^2=BC^2

Explication

Lorsque l’angle droit est en A, $BC$ est l’hypoténuse, et le théorème de Pythagore donne $AB^2+AC^2=BC^2$ . Une relation utilisant un autre côté comme hypoténuse ne convient pas à cette configuration.

Question 16

16. Quelle expression donne la dérivée d’un produit $f(x)g(x)$ ?

f'(x)g(x)-f(x)g'(x)

f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

f'(x)g'(x)

\frac{f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}{g(x)^2}

Explication

La règle du produit additionne les deux contributions obtenues en dérivant chaque facteur à tour de rôle. La soustraction au numérateur appartient à la règle du quotient, pas à celle du produit.

Question 17

17. Quelle unité SI correspond à la dimension de la température thermodynamique ?

La mole, notée mol

La candela, notée cd

Le kelvin, noté K

L’ampère, noté A

Explication

L’unité SI de la température thermodynamique est le kelvin, de symbole K. La candela mesure l’intensité lumineuse, l’ampère l’intensité électrique et la mole la quantité de matière.

Question 18

18. Pour des puissances de même base, comment simplifie-t-on le produit $x^n\times x^m$ ?

x^{nm}

x^{n-m}

x^{n/m}

x^{n+m}

Explication

Le produit de deux puissances de même base s’écrit $x^{n+m}$ , car les exposants s’additionnent. La soustraction des exposants correspond au quotient $\frac{x^n}{x^m}$ , et non au produit.

QCM : Outils mathématiques et analyse dimensionnelle — 18 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour $x>0$ et $y>0$ , quelle transformation correcte s’applique au logarithme d’un quotient ?

2. Un cercle de rayon $r$ a un périmètre et une aire donnés par quelles expressions ?

3. Quelle propriété caractérise le logarithme népérien sur son domaine de définition ?

4. Deux grandeurs physiques sont dites homogènes lorsqu’elles possèdent quelle propriété ?

5. Laquelle des propositions énumère correctement les sept dimensions fondamentales du Système international ?

6. Un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $H$ possède quel volume ?

7. Quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=1/x$ ?

8. Pour quel réel $x$ l’identité $\ln(e^x)=x$ est-elle valable ?

9. Une température de $25\,^{\circ}\mathrm C$ correspond à quelle température en kelvins ?

10. Si $u$ est continue, dérivable et ne s’annule pas, quelle primitive correspond à $\frac{u'(x)}{u(x)}$ ?

11. Quelle expression obtient-on en additionnant $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ ?

12. Quelle primitive convient à $x^\alpha$ lorsque $\alpha\neq -1$ ?

13. Quelle valeur approchée correspond au nombre positif $e$ défini par $\ln(e)=1$ ?

14. Quel est le volume d’une sphère de rayon $3\,\mathrm{cm}$ ?

15. Dans un triangle rectangle en A, quelle relation relie les longueurs des côtés selon le théorème de Pythagore ?

16. Quelle expression donne la dérivée d’un produit $f(x)g(x)$ ?

17. Quelle unité SI correspond à la dimension de la température thermodynamique ?

18. Pour des puissances de même base, comment simplifie-t-on le produit $x^n\times x^m$ ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Diversité et discriminations

Mélanges homogènes et hétérogènes

Quantités de matière et solutions

Biomes et cycles écologiques

Mouvement, trajectoire et vitesse

Intervenir en sécurité en EPS

Crée tes propres QCM

QCM : Outils mathématiques et analyse dimensionnelle — 18 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour x>0x>0x>0 et y>0y>0y>0, quelle transformation correcte s’applique au logarithme d’un quotient ?

2. Un cercle de rayon rrr a un périmètre et une aire donnés par quelles expressions ?

3. Quelle propriété caractérise le logarithme népérien sur son domaine de définition ?

4. Deux grandeurs physiques sont dites homogènes lorsqu’elles possèdent quelle propriété ?

5. Laquelle des propositions énumère correctement les sept dimensions fondamentales du Système international ?

6. Un cylindre de rayon rrr et de hauteur HHH possède quel volume ?

7. Quelle est la dérivée de la fonction f(x)=1/xf(x)=1/xf(x)=1/x ?

8. Pour quel réel xxx l’identité ln⁡(ex)=x\ln(e^x)=xln(ex)=x est-elle valable ?

9. Une température de 25 ∘C25\,^{\circ}\mathrm C25∘C correspond à quelle température en kelvins ?

10. Si uuu est continue, dérivable et ne s’annule pas, quelle primitive correspond à u′(x)u(x)\frac{u'(x)}{u(x)}u(x)u′(x)​ ?

11. Quelle expression obtient-on en additionnant ab\frac{a}{b}ba​ et cd\frac{c}{d}dc​ ?

12. Quelle primitive convient à xαx^\alphaxα lorsque α≠−1\alpha\neq -1α=−1 ?

13. Quelle valeur approchée correspond au nombre positif eee défini par ln⁡(e)=1\ln(e)=1ln(e)=1 ?

14. Quel est le volume d’une sphère de rayon 3 cm3\,\mathrm{cm}3cm ?

15. Dans un triangle rectangle en A, quelle relation relie les longueurs des côtés selon le théorème de Pythagore ?

16. Quelle expression donne la dérivée d’un produit f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) ?

17. Quelle unité SI correspond à la dimension de la température thermodynamique ?

18. Pour des puissances de même base, comment simplifie-t-on le produit xn×xmx^n\times x^mxn×xm ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Diversité et discriminations

Mélanges homogènes et hétérogènes

Quantités de matière et solutions

Biomes et cycles écologiques

Mouvement, trajectoire et vitesse

Intervenir en sécurité en EPS

Crée tes propres QCM

1. Pour $x>0$ et $y>0$ , quelle transformation correcte s’applique au logarithme d’un quotient ?

2. Un cercle de rayon $r$ a un périmètre et une aire donnés par quelles expressions ?

6. Un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $H$ possède quel volume ?

7. Quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=1/x$ ?

8. Pour quel réel $x$ l’identité $\ln(e^x)=x$ est-elle valable ?

9. Une température de $25\,^{\circ}\mathrm C$ correspond à quelle température en kelvins ?

10. Si $u$ est continue, dérivable et ne s’annule pas, quelle primitive correspond à $\frac{u'(x)}{u(x)}$ ?

11. Quelle expression obtient-on en additionnant $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ ?

12. Quelle primitive convient à $x^\alpha$ lorsque $\alpha\neq -1$ ?

13. Quelle valeur approchée correspond au nombre positif $e$ défini par $\ln(e)=1$ ?

14. Quel est le volume d’une sphère de rayon $3\,\mathrm{cm}$ ?

16. Quelle expression donne la dérivée d’un produit $f(x)g(x)$ ?

18. Pour des puissances de même base, comment simplifie-t-on le produit $x^n\times x^m$ ?