Fiche de révision : Périodicité des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Définition et période fondamentale
2. Périodes des fonctions trigonométriques
3. Somme de fonctions périodiques

📖 1. Définition et période fondamentale

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction périodique : Une fonction réelle f définie sur D_f est périodique s’il existe un réel p strictement positif tel que, pour tout x∈D_f, si x+p∈D_f, alors f(x+p)=f(x).
• Période : La période T d’une fonction périodique sur D_f est le plus petit réel positif parmi ceux qui vérifient la relation de périodicité.

📖 2. Périodes des fonctions trigonométriques

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour f(x)=a sin(bx+c) ou f(x)=a cos(bx+c), la période est $T=\frac{2\pi}{|b|}$.

📐 Formule - Pour f(x)=a tg(bx+c) ou f(x)=a cotg(bx+c), la période est $T=\frac{\pi}{|b|}$.

Compléments

• La fonction f(x)=4 sin 2x a pour période π.

💡 Astuce mémo

Sinus et cosinus : 2π ; tangente et cotangente : π.

📖 3. Somme de fonctions périodiques

★ À maîtriser

📌 Si f et g sont périodiques de périodes respectives T₁ et T₂ et si T₁/T₂ est rationnel, alors, pour deux réels non nuls a et b, h(x)=af(x)+bg(x) est périodique : le plus petit commun multiple de T₁ et T₂ est une période de h, mais pas nécessairement sa plus petite période positive.

Compléments

• Pour f(x)=tg(2x/3)+tg x, les périodes des deux termes sont 3π/2 et π, et leur plus petit commun multiple donne la période 3π.