QCM : Périodicité des fonctions (6 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une fonction réelle définie sur un domaine $D_f$ est périodique si quelle relation est satisfaite pour un certain réel $p$ ?

$p>0$ et, pour tout $x\in D_f$, $f(x+p)=f(x)$, que $x+p$ appartienne ou non à $D_f$
$p>0$ et, pour tout $x\in D_f$ tel que $x+p\in D_f$, $x+p=x$
$p>0$ et, pour tout $x\in D_f$ tel que $x+p\in D_f$, $f(x+p)=f(x)$
$p\geq 0$ et, pour tout $x\in D_f$ tel que $x+p\in D_f$, $f(x+p)=f(x)$

$p>0$ et, pour tout $x\in D_f$ tel que $x+p\in D_f$, $f(x+p)=f(x)$

Explication

La périodicité exige un réel strictement positif $p$ et l’égalité des valeurs lorsque les deux arguments appartiennent au domaine. Un $p$ nul ne convient pas, l’égalité n’est pas exigée hors du domaine, et elle concerne les valeurs de la fonction plutôt que l’égalité des arguments.

2. Une fonction périodique admet plusieurs réels positifs qui vérifient sa relation de périodicité; lequel est sa période $T$ ?

Un réel positif quelconque qui vérifie cette relation
Le plus grand des réels positifs qui vérifient cette relation
La valeur de fonction la plus petite obtenue sur le domaine
Le plus petit des réels positifs qui vérifient cette relation

Le plus petit des réels positifs qui vérifient cette relation

Explication

La période fondamentale $T$ est le plus petit réel positif parmi ceux qui satisfont la relation de périodicité. Un réel admissible quelconque peut être une période sans être la période fondamentale; les valeurs de la fonction ne définissent pas $T$.

3. Une fonction est définie par $f(x)=3\cos(4x+\frac{\pi}{7})$. Quelle est sa période ?

$\frac{\pi}{2}$
$\frac{2\pi}{7}$
$\frac{\pi}{8}$
$\frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{2}$

Explication

Pour une fonction cosinus de la forme $a\cos(bx+c)$, la période vaut $\frac{2\pi}{|b|}$. Ici, $b=4$, donc $T=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$; $\frac{\pi}{4}$ correspondrait à la formule de la tangente.

4. Une fonction est définie par $g(x)=2\operatorname{tg}(-3x+\frac{\pi}{5})$. Quelle est sa période ?

$\frac{\pi}{5}$
$\frac{2\pi}{3}$
$-\frac{\pi}{3}$
$\frac{\pi}{3}$

$\frac{\pi}{3}$

Explication

Pour une tangente de la forme $a\operatorname{tg}(bx+c)$, la période est $\frac{\pi}{|b|}$. Avec $b=-3$, elle vaut $\frac{\pi}{3}$; la formule du sinus ou du cosinus donnerait $\frac{2\pi}{3}$, et une période est positive.

5. Pour h(x)=tg⁡(2x3)+tg⁡xh(x)=\tg\left(\frac{2x}{3}\right)+\tg x, les termes ont pour périodes 3π2\frac{3\pi}{2} et π\pi. Quelle période obtient-on en prenant leur plus petit commun multiple ?

3π2\frac{3\pi}{2}
5π2\frac{5\pi}{2}
3π3\pi
π\pi

$$3\pi$$

Explication

La période obtenue est le plus petit commun multiple de 3π2\frac{3\pi}{2} et π\pi, soit 3π3\pi. 3π2\frac{3\pi}{2} et π\pi correspondent aux périodes individuelles, tandis que 5π2\frac{5\pi}{2} résulte de leur addition.

6. Deux fonctions périodiques ont pour périodes respectives T1=4T_1=4 et T2=6T_2=6. Pour des réels non nuls aa et bb, quelle affirmation décrit correctement la fonction h(x)=af(x)+bg(x)h(x)=af(x)+bg(x) ?

Elle est périodique, et 22 est nécessairement sa plus petite période positive.
Elle n’est pas périodique, car ses deux périodes sont différentes.
Elle est périodique, et 1010 est une période commune minimale.
Elle est périodique, et 1212 est une période sans être nécessairement la plus petite.

Elle est périodique, et $$12$$ est une période sans être nécessairement la plus petite.

Explication

Le rapport 4/64/6 est rationnel et le plus petit commun multiple de 44 et 66, soit 1212, est une période de la somme; il n’est pas forcément sa plus petite période positive. La valeur 22 confond un diviseur commun avec une période commune, des périodes différentes n’empêchent pas la périodicité, et 1010 n’est pas un multiple commun de 44 et 66.

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Quand une fonction réelle définie sur DfD_f est-elle périodique ?

S’il existe un réel p>0p>0 tel que, pour tout x∈Dfx\in D_f avec x+p∈Dfx+p\in D_f, f(x+p)=f(x)f(x+p)=f(x).

Comment définit-on la période TT d’une fonction périodique sur DfD_f ?

C’est le plus petit réel positif vérifiant la relation de périodicité.

Quelle est la période de f(x)=asin⁡(bx+c)f(x)=a\sin(bx+c) ou f(x)=acos⁡(bx+c)f(x)=a\cos(bx+c) ?

2π∣b∣\frac{2\pi}{|b|}

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