QCM : Plans d’expériences et plans factoriels (40 questions)

Explication

Le plan exhaustif couvre toutes les combinaisons : $3 \times 3 \times 3 = 27$. Neuf correspond au nombre d’essais de l’OVAT dans ce cas, 18 omet certaines combinaisons et 10 résulte d’un décompte incorrect.

Explication

L’OVAT fait varier chaque facteur successivement, les facteurs non étudiés étant fixés au niveau moyen; trois facteurs à trois modalités donnent neuf essais. La variation simultanée correspond à un plan d’expériences, tandis que fixer les autres au niveau faible ou faire varier deux facteurs ne décrit pas la démarche indiquée.

Explication

En OVAT, les facteurs non étudiés restent fixés à un niveau choisi, et ce choix peut influer sur la qualité des résultats. L’étude des interactions, l’équilibre des niveaux et le calcul d’un optimum sans essai correspondant sont des caractéristiques du plan d’expériences, pas les limites décrites ici.

Explication

Un plan d’expériences fait varier simultanément les niveaux, permet d’étudier les interactions et peut calculer un optimum sans que l’expérience correspondante ait été réalisée. L’OVAT peut masquer les interactions, et le plan exhaustif mesure toutes les combinaisons au lieu de déduire un optimum non testé.

Explication

Un plan d’expériences organise les essais à l’avance afin d’évaluer l’influence de plusieurs facteurs sur une ou plusieurs réponses, en limitant le nombre d’essais et en visant une précision maximale. L’improvisation, la restriction à un facteur et la multiplication des essais ne correspondent pas à cette définition.

Explication

Les plans de Plackett-Burman et de Taguchi servent au criblage des facteurs influents. Les plans factoriels complets et fractionnaires visent plutôt à étudier l’influence des facteurs et de leurs interactions.

Explication

La préparation suit l’ordre suivant : choisir le système, définir la réponse liée à l’objectif, puis identifier les facteurs susceptibles de l’influencer. Définir la réponse en premier inverse les étapes, tandis que les deux autres propositions placent l’identification des facteurs avant la définition de la réponse.

Explication

La pression est une grandeur mesurable, comme la température, et constitue donc un facteur continu. La nature du substrat est un facteur discret; les types et niveaux catégorisés ne sont pas des mesures continues.

Explication

La réponse est représentée comme une fonction des variables codées qui décrivent les facteurs. Utiliser les facteurs non codés confond leur représentation avec les variables codées, inverser la réponse et les variables explicatives change le rôle de la réponse, et ne retenir qu’un facteur omet les deux autres.

Explication

Le manque d’ajustement désigne l’écart entre le modèle réel du phénomène et le modèle choisi par l’expérimentateur. L’erreur expérimentale est mise en évidence par les répétitions; une interaction concerne l’effet conjoint de facteurs, et l’incertitude de mesure n’est pas cette différence entre modèles.

Explication

Un plan factoriel complet à $k$ facteurs comporte $2^k$ configurations; avec trois facteurs, $2^3=8$ expériences. Trois correspond au nombre de facteurs, quatre à une fraction des configurations et neuf ajoute à tort un essai de référence.

Explication

Le nombre d’essais d’un plan complet à deux niveaux est $2^k$; pour dix facteurs, $2^{10}=1\,024$, ce qui explique qu’il devienne peu pratique. Dix confond essais et facteurs, vingt multiplie facteurs et niveaux, et 512 omet la moitié des configurations.

Explication

Le modèle factoriel complet à deux facteurs comprend le terme constant, les deux effets principaux et le produit $X_1X_2$ représentant l’interaction. L’expression sans produit omet l’interaction, celle avec $X_1^2$ substitue un terme quadratique, et celle sans $b_0$ omet la constante.

Explication

Une interaction est présente lorsque l’effet d’un facteur, exprimé par la pente, varie selon le niveau de l’autre facteur. Des pentes identiques indiqueraient une absence d’interaction; un décalage constant entre droites ne suffit pas à établir des pentes différentes, et un effet principal ne décrit pas cette variation de pente.

Explication

L’estimation des coefficients par régression linéaire s’obtient en multipliant $y$ par $X^{\mathsf T}$, puis par l’inverse de $X^{\mathsf T}X$. L’omission de $X^{\mathsf T}$, l’inversion de l’ordre des facteurs ou le remplacement par $XX^{\mathsf T}$ modifient la formule.

Explication

Dans cette écriture, $e$ regroupe les écarts entre la représentation du modèle et les réponses mesurées. Les réponses sont portées par $y$, les coefficients par $b$ et la matrice du modèle par $X$.

Explication

Un plan complet à quatre facteurs binaires comporte $2^4=16$ combinaisons, donc 16 expériences. Quatre correspond au nombre de facteurs, tandis que 8 résulte d’un calcul qui ne tient pas compte des quatre niveaux binaires.

Explication

L’objectif est d’identifier des conditions d’emploi assurant une durée de vie d’au moins 17,5 heures. « Au plus 17,5 heures » inverse le seuil, tandis que 26 et 0,20 proviennent de domaines de facteurs, non de l’objectif de durée.

Explication

La somme totale des carrés est la somme de la régression et de l’erreur : $SST=SSR+SSE=72+8=80$. $64$ vient d’une soustraction, $9$ d’une combinaison erronée des valeurs et $72$ omet la somme des carrés de l’erreur.

Explication

Les degrés de liberté sont $n-1=19$ pour SST, $p-1=5$ pour SSR et $n-p=14$ pour SSE. Les valeurs $6$ ou $13$ résultent d’un décompte incorrect des coefficients, tandis que $20$ omet la perte d’un degré de liberté liée à la moyenne.

Explication

Les essais répétés permettent d’estimer l’erreur expérimentale, puis de distinguer l’erreur pure du manque d’ajustement au sein de SSE. Assimiler la réplication à une hausse de R², confondre l’erreur pure avec le manque d’ajustement ou lui attribuer l’estimation des coefficients ne décrit pas ce rôle.

Explication

Dans cet exemple, le R² élevé et le test du manque d’ajustement non significatif conduisent à considérer le modèle comme statistiquement validé et équilibré. Un R² élevé ne rend pas le test inutile, un résultat non significatif n’établit pas un manque d’ajustement et un test significatif ne correspond pas aux conditions données.

Explication

Le criblage sert à déterminer, parmi de nombreux facteurs, lesquels font varier significativement la réponse lorsqu’on change leur niveau. La recherche directe d’un optimum, la modélisation de la courbure et la mesure sans comparaison correspondent à d’autres objectifs.

Explication

Le modèle de Plackett-Burman conserve l’ordonnée à l’origine et les effets linéaires des facteurs, en négligeant toutes les interactions. Le terme d’interaction, les termes quadratiques et l’omission des effets individuels ne respectent pas cette forme.

Explication

Les facteurs significatifs indiqués sont X1, X2, X3, X4, X5, X7, X8 et X11. Inclure X6 confond une contribution négligeable avec une contribution significative, inclure X10 contredit son classement statistique, et omettre X7 écarte un facteur significatif.

Explication

L’analyse classe X10 comme non influent et permet donc d’envisager l’optimisation avec huit facteurs au lieu de onze. Le diagramme de Pareto concerne la négligeabilité de X6 et X9, conserver X10 conduirait à neuf facteurs, et en retirer davantage n’est pas justifié par cette analyse.

Explication

Une variation non linéaire entre les niveaux extrêmes ou un mauvais ajustement, notamment un R² faible, indique qu’il faut introduire un ou plusieurs niveaux supplémentaires. Maintenir le plan à deux niveaux ou retirer des points ne répond pas à ce besoin.

Explication

Les plans de surfaces de réponse permettent d’étudier précisément le comportement d’une ou plusieurs propriétés, de rechercher un compromis entre réponses et, pour certains plans, de réduire les essais. Le tri préliminaire relève du criblage, et la réduction du nombre d’essais n’est pas garantie pour tous les plans.

Explication

Pour deux facteurs, le modèle quadratique comprend les effets linéaires, l’interaction entre les facteurs et un terme quadratique pour chacun. Omettre les carrés ou l’interaction laisse de côté des composantes prévues, tandis qu’une interaction triple ne s’applique pas à ces deux facteurs.

Explication

Des coefficients quadratiques de même signe négatif caractérisent un maximum; des coefficients positifs indiquent un minimum, et des signes opposés un minimax. L’association au minimum inverse la règle, tandis qu’un minimax correspond à des signes opposés.

Explication

Le plan composite centré associe un plan factoriel, des points en étoile et des points au centre, ce qui permet d’étudier des zones voisines du domaine expérimental. Le plan de Doehlert répartit régulièrement les points, tandis que le plan de Box-Behnken place ses essais au milieu des arêtes.

Explication

Les plans de Doehlert répartissent régulièrement les points dans le domaine et permettent de l’étendre sans perdre tous les points du plan initial. Les points en étoile caractérisent le plan composite centré, et les milieux des arêtes renvoient au plan de Box-Behnken.

Explication

Les trois familles de plans de surfaces de réponse les plus utilisées sont les plans composites centrés, les plans de Doehlert et les plans de Box-Behnken. Les plans de mélange, de criblage et les plans factoriels simples ne remplacent pas cette liste.

Explication

Pour une dilution de 0,5, l’optimum calculé est un pH de 5,18, une concentration d’environ 2 et une réponse de 51,6. La valeur 48 % correspond au seuil d’appauvrissement recherché dans l’étude, et non à la réponse optimale donnée.

Explication

Les trois facteurs retenus sont le taux de dilution, le pH et le taux de concentration du lait, avec les niveaux respectifs 0,5–2, 5–6 et 1,5–2,5. L’appauvrissement acide est la réponse étudiée, pas un facteur expérimental.

Explication

Les facteurs d’un plan de mélanges représentent des proportions liées par une somme égale à 1 ou à 100 %, contrairement aux facteurs indépendants d’un plan classique. L’indépendance confond les deux types de plans, tandis que les niveaux qualitatifs et les réponses mesurées ne décrivent pas les facteurs du mélange.

Explication

La contrainte impose que la dernière proportion complète les trois autres jusqu’à 1 : $1-(0,20+0,15+0,40)=0,25$. La valeur 0,75 correspond à la somme déjà fixée, et un partage égal du solde entre les constituants n’est pas requis.

Explication

Pour trois constituants, le modèle de premier degré est la somme des contributions linéaires des proportions, sans terme constant. Le terme constant relève d’une forme classique, les produits croisés caractérisent le deuxième degré et les carrés ne correspondent pas à la formule donnée.

Explication

Le modèle de deuxième degré comprend les trois termes linéaires et les interactions entre chaque paire de proportions, sans terme constant. La forme linéaire omet les interactions, tandis que le terme constant ou l’interaction à trois facteurs ne fait pas partie de cette expression.

Explication

Lorsque les hautes teneurs sont interdites, les pseudocomposantes se calculent par $X_i'=\frac{U_i-X_i}{\sum_j U_j-1}$, ce qui correspond au domaine expérimental triangulaire inversé. La formule avec $L_i$ traite les basses teneurs interdites, le numérateur inversé change le sens de la transformation et le dénominateur $1-\sum_j U_j$ n'est pas celui de cette règle.