QCM : Suites numériques (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise une suite numérique définie à partir d’un rang initial n0n_0 ?

C’est une fonction définie pour tout entier naturel n≥n0n \geq n_0 et à valeurs réelles.
C’est une fonction définie pour tout réel n≥n0n \geq n_0 et à valeurs réelles.
C’est une fonction définie pour tout entier naturel n≥n0n \geq n_0 et à valeurs entières.
C’est une fonction définie pour tout entier naturel nn et à valeurs réelles.

C’est une fonction définie pour tout entier naturel $$n \geq n_0$$ et à valeurs réelles.

Explication

Une suite numérique associe une valeur réelle à chaque entier naturel supérieur ou égal à son rang initial. Étendre le domaine aux réels confond une suite avec une fonction réelle, imposer des valeurs entières restreint à tort son ensemble d’arrivée, et supprimer le rang initial oublie la condition sur le domaine.

2. Pour une suite (un) (u_n) définie à partir du rang n=2n=2, quel terme suit immédiatement u5u_5 ?

u7u_7
u4u_4
u5u_5
u6u_6

$$u_6$$

Explication

Le terme qui suit celui de rang nn est un+1u_{n+1} ; après u5u_5 vient donc u6u_6. u4u_4 est le terme précédent, u5u_5 est le terme de départ, et u7u_7 saute un rang.

3. Une suite est donnée par u0=4u_0=4 et un+1=2un+3u_{n+1}=2u_n+3. Quelle caractéristique permet de la classer comme définie par récurrence plutôt qu’explicitement ?

Chaque terme se calcule directement en fonction de son rang.
La suite est déterminée par une formule donnant directement unu_n.
La suite associe une valeur réelle à chaque rang entier naturel.
Chaque nouveau terme se calcule à partir du terme précédent.

Chaque nouveau terme se calcule à partir du terme précédent.

Explication

Une définition par récurrence donne un terme initial et une relation permettant de calculer le terme suivant à partir du précédent. Une formule directe en fonction de nn caractérise au contraire une définition explicite ; une valeur initiale seule ou la définition générale d’une suite ne distingue pas ces deux modes.

4. Pour la suite définie explicitement par un=n2+5n−1u_n=n^2+5n-1, quelle valeur obtient-on pour u2u_2 ?

49
9
14
13

13

Explication

En remplaçant nn par 22, on obtient u2=22+5×2−1=4+10−1=13u_2=2^2+5\times2-1=4+10-1=13. Le résultat 1414 vient de l’oubli du terme constant −1-1, 99 traite à tort n2n^2 comme nn, et 4949 correspond à u5u_5.

5. Qu’est-ce qu’une relation de récurrence dans la définition d’une suite ?

Une règle qui représente les termes de la suite comme des points dans un repère.
Une formule qui donne chaque terme directement en fonction de son rang.
Une relation qui permet de calculer un terme à partir du terme précédent.
Une inégalité qui compare deux termes consécutifs pour étudier les variations.

Une relation qui permet de calculer un terme à partir du terme précédent.

Explication

Une relation de récurrence exprime un terme de la suite à partir du terme qui le précède. Une formule directe en fonction du rang correspond plutôt à une définition explicite.

6. Dans un repère, quelles sont les coordonnées du point associé au terme unu_n d’une suite ?

(un ; n)(u_n \,;\, n)
(n ; un+1)(n \,;\, u_{n+1})
(n ; un)(n \,;\, u_n)
(n+1 ; un)(n+1 \,;\, u_n)

$$(n \,;\, u_n)$$

Explication

Chaque point de la représentation graphique associe le rang nn en abscisse à la valeur unu_n en ordonnée. Placer unu_n en abscisse inverse le rôle du rang et de la valeur.

7. Quel est le rôle du calcul de un+1−unu_{n+1}-u_n lorsqu’on étudie une suite ?

Vérifier que ses termes sont représentés par des abscisses entières
Trouver une formule explicite à partir de sa relation de récurrence
Déterminer son sens de variation à partir du signe de la différence
Calculer directement son terme initial à partir de deux termes consécutifs

Déterminer son sens de variation à partir du signe de la différence

Explication

Le signe de un+1−unu_{n+1}-u_n permet de conclure que la suite est croissante, décroissante ou constante à partir du rang considéré. La représentation graphique peut suggérer une variation, mais elle ne suffit pas à elle seule pour la démontrer.

8. Une suite commence par le terme u0u_0. Quel rang occupe alors unu_n dans la suite ?

Le nn-ième terme
Le (n−1)(n-1)-ième terme
Le (n+2)(n+2)-ième terme
Le (n+1)(n+1)-ième terme

Le $$(n+1)$$-ième terme

Explication

Comme le premier terme est u0u_0, le terme unu_n est le (n+1)(n+1)-ième terme. Si la suite commençait par u1u_1, unu_n serait plutôt son nn-ième terme.

9. Quelle différence distingue une définition explicite d’une définition par récurrence ?

La définition explicite décrit les termes par un graphique, tandis que la récurrence les décrit par une formule fonctionnelle.
La définition explicite exige de connaître le premier terme, tandis que la récurrence fournit chaque terme à partir de son rang.
La définition explicite permet de calculer chaque terme à partir de son rang, tandis que la récurrence s’appuie sur le terme précédent.
La définition explicite s’applique aux rangs entiers, tandis que la récurrence s’applique aux valeurs réelles de la suite.

La définition explicite permet de calculer chaque terme à partir de son rang, tandis que la récurrence s’appuie sur le terme précédent.

Explication

Une définition explicite donne une relation de la forme un=f(n)u_n=f(n), qui permet de calculer directement un terme à partir de son rang. À l’inverse, une définition par récurrence utilise un terme antérieur pour obtenir le suivant, et non une formule directe en fonction de nn.

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Qu’est-ce qu’une suite numérique ?

Une fonction définie sur les entiers naturels à partir d’un rang initial et à valeurs réelles.

Quand une suite est-elle définie explicitement ?

Chaque terme se calcule directement en fonction de nn, selon un=f(n)u_n=f(n).

Comment note-t-on le terme qui précède unu_n ?

un−1u_{n-1}

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