Fiche de révision : Suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Notion et notation des suites
2. Définition explicite d’une suite
3. Définition par récurrence
4. Représentation graphique des suites
5. Sens de variation d’une suite

📖 1. Notion et notation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à un rang initial n₀ et à valeurs dans ℝ.

📝 Points essentiels

• Le terme de rang n se note u(n) ou uₙ, le terme qui le précède se note uₙ₋₁ et celui qui le suit se note uₙ₊₁.

📌 La suite se note entre parenthèses, par exemple (uₙ), tandis que u(n) est sa notation fonctionnelle.

• Si une suite commence par u₀, uₙ est son (n + 1)-ième terme, tandis que si elle commence par u₁, uₙ est son n-ième terme.

📖 2. Définition explicite d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition explicite : Une suite est définie explicitement lorsque tout terme peut être calculé directement en fonction de n, avec une relation de la forme uₙ = f(n).

📝 Points essentiels

• Pour la suite définie par uₙ = n² + 5n − 1, on obtient u₀ = −1, u₂ = 13 et u₅ = 49.

📖 3. Définition par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition par récurrence : Relation donnant le premier terme et permettant de calculer chaque terme à partir du précédent, de la forme uₙ₊₁ = f(uₙ).
• Relation de récurrence : Relation qui donne un terme d’une suite à partir du terme précédent.

📝 Points essentiels

• Pour u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 3uₙ + 1, les quatre termes suivants sont u₁ = 4, u₂ = 13, u₃ = 40 et u₄ = 121.

• Le calcul de termes éloignés d’une suite définie par récurrence peut être long, et un tableur ou une calculatrice permet de les déterminer.

📖 4. Représentation graphique des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique : Ensemble des points Aₙ de coordonnées (n ; uₙ) dans un repère du plan, où n parcourt les entiers naturels.

📝 Points essentiels

• La représentation graphique d’une suite est un nuage de points dont les abscisses sont des entiers naturels.

📖 5. Sens de variation d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Suite vérifiant uₙ₊₁ ≥ uₙ pour tout entier naturel n supérieur ou égal à k.
• Suite décroissante : Suite vérifiant uₙ₊₁ ≤ uₙ pour tout entier naturel n supérieur ou égal à k.
• Suite constante : Suite vérifiant uₙ₊₁ = uₙ pour tout entier naturel n supérieur ou égal à k.

★ À maîtriser

• Pour étudier le sens de variation d’une suite, on calcule uₙ₊₁ − uₙ : une différence toujours positive à partir d’un rang k indique une suite croissante, une différence toujours négative indique une suite décroissante et une différence toujours nulle indique une suite constante.

Compléments

• Lorsque l’inégalité est stricte, une suite est dite strictement croissante si uₙ₊₁ > uₙ et strictement décroissante si uₙ₊₁ < uₙ.

• La représentation graphique peut suggérer une conjecture de variation, mais elle ne permet pas à elle seule de conclure.

• Pour v₀ = 4 et vₙ₊₁ = vₙ − 2, on a vₙ₊₁ − vₙ = −2, donc la suite est strictement décroissante.

• Pour wₙ = 3n + 7, on a wₙ₊₁ − wₙ = 3, donc la suite est strictement croissante.

💡 Astuce mémo

Le signe de la différence décide : positif, la suite monte ; négatif, elle descend.