Fiche de révision : Polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Discriminant et résolution des équations
2. Sommet et forme canonique
3. Signe et factorisation du trinôme
4. Résolution des inéquations
5. Variations et questions types

📖 1. Discriminant et résolution des équations

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Pour résoudre $ax^2+bx+c=0$, si $\Delta<0$ il n’y a pas de solution réelle, si $\Delta=0$ l’unique solution est $x_0=-\frac{b}{2a}$, et si $\Delta>0$ les deux solutions sont $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Δ < 0 : aucune racine ; Δ = 0 : une racine ; Δ > 0 : deux racines.

📖 2. Sommet et forme canonique

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, l’abscisse du sommet est $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et son ordonnée est $\beta=f(\alpha)$.

• La forme canonique d’un trinôme est $a(x-\alpha)^2+\beta$, où le sommet a pour coordonnées $(\alpha;\beta)$.

📖 3. Signe et factorisation du trinôme

📝 Points essentiels

📌 Lorsque $\Delta>0$ et que les racines sont $x_1<x_2$, le trinôme a le signe de $a$ à l’extérieur des racines et le signe opposé entre elles.

📖 4. Résolution des inéquations

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une inéquation du second degré, on identifie $a,b,c$, on calcule le discriminant, on détermine les racines, on établit le tableau de signe, puis on retient les intervalles qui satisfont l’inégalité.

📌 Une inégalité stricte $f(x)>0$ ou $f(x)<0$ exclut les racines, tandis qu’une inégalité large $f(x)\geq0$ ou $f(x)\leq0$ inclut les racines où $f(x)=0$.

💡 Astuce mémo

Coefficients → discriminant → racines → tableau de signe → comparaison avec l’inéquation.

📖 5. Variations et questions types

📝 Points essentiels

📌 Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, si $a>0$, la fonction décroît jusqu’à l’abscisse du sommet puis croît ; si $a<0$, elle croît jusqu’au sommet puis décroît.