QCM : Polynômes du second degré (9 questions)

Question 1

1. Pour le trinôme $g(x)=3x^2-2x+5$ , quelle expression donne son discriminant ?

(-2)^2-4\times3\times5

(-2)^2-3\times5

2(-2)-4\times3\times5

(-2)^2+4\times3\times5

Explication

Le discriminant d’un trinôme $ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$ ; ici, $a=3$ , $b=-2$ et $c=5$ . L’addition de $4ac$ inverse son signe, l’omission de $4ac$ oublie un terme et $2b$ remplace à tort le carré de $b$ .

Answer

$$(-2)^2-4\times3\times5$$

Question 2

2. Une équation du second degré a pour discriminant $\Delta=0$ et pour coefficients $a=2$ et $b=-8$ . Quelle est sa solution réelle ?

aucune solution réelle

x=2

, solution unique

x=4

et

x=-4

x=-2

, solution unique

Explication

Lorsque $\Delta=0$ , l’équation possède une solution unique $x_0=-\frac{b}{2a}$ ; ici, $x_0=-\frac{-8}{2\times2}=2$ . L’absence de solution réelle correspond à $\Delta<0$ , deux racines à $\Delta>0$ , et $x=-2$ résulte d’une erreur de signe.

Answer

$$x=2$$, solution unique

Question 3

3. Pour $f(x)=2x^2+4x-3$ , quelles sont les coordonnées du sommet calculées à partir de $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$ ?

(1;-1)

(-1;-5)

(-2;-3)

(3;-1)

Explication

On obtient $\alpha=-\frac{4}{2\times2}=-1$ , puis $\beta=f(-1)=2-4-3=-5$ . La valeur $-2$ vient de l’omission du facteur $2$ au dénominateur, $-3$ reprend à tort le terme constant, et $1$ provient de l’oubli du signe négatif.

Answer

$$(-1;-5)$$

Question 4

4. Un trinôme a pour sommet le point $(3;-2)$ et pour coefficient directeur du terme quadratique $a=4$ . Quelle est sa forme canonique ?

4(x-3)^2+2

4(x+3)^2-2

4(x-3)^2-2

(x-3)^2-2

Explication

La forme canonique est $a(x-\alpha)^2+\beta$ ; avec $a=4$ , $\alpha=3$ et $\beta=-2$ , elle vaut $4(x-3)^2-2$ . Le signe plus dans $x+3$ inverse l’abscisse, l’absence du facteur $4$ modifie le coefficient quadratique, et $+2$ inverse l’ordonnée du sommet.

Answer

$$4(x-3)^2-2$$

Question 5

5. Lorsque $\Delta>0$ et que les racines d’un trinôme sont $x_1<x_2$ , que signifie la règle de signe du trinôme ?

Il a le signe de

a

entre les racines et le signe opposé à l’extérieur.

Il change de signe à chaque racine et garde ce signe jusqu’à l’autre racine.

Il est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles, quel que soit

a

.

Il a le signe de

a

à l’extérieur des racines et le signe opposé entre elles.

Explication

Avec deux racines distinctes, le trinôme prend le signe de son coefficient quadratique $a$ à l’extérieur de l’intervalle délimité par les racines, et le signe opposé à l’intérieur. La règle ne fixe pas un signe extérieur positif dans tous les cas : celui-ci dépend de la valeur de $a$ .

Answer

Il a le signe de $$a$$ à l’extérieur des racines et le signe opposé entre elles.

Question 6

6. Lors de la résolution d’une inéquation du second degré, quelle étape suit la détermination des racines ?

Réécrire le trinôme sous forme canonique

Déterminer le sens de variation de la fonction

Calculer les coordonnées du sommet

Établir le tableau de signe du trinôme

Explication

Après avoir déterminé les racines, on établit le tableau de signe, puis on retient les intervalles qui satisfont l’inégalité. Le calcul du sommet peut décrire la parabole, mais il ne constitue pas l’étape suivante de la méthode indiquée.

Answer

Établir le tableau de signe du trinôme

Question 7

7. Quel rôle joue le signe du coefficient $a$ dans les variations de la fonction quadratique $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

Il détermine si le trinôme possède une ou deux racines réelles.

Il fixe les intervalles où la fonction est positive entre ses racines.

Il donne directement l’abscisse du sommet de la parabole.

Il indique si la fonction décroît puis croît, ou croît puis décroît autour du sommet.

Explication

Le signe de $a$ détermine le sens des variations : la fonction décroît puis croît lorsque $a>0$ , et croît puis décroît lorsque $a<0$ . Le nombre de racines dépend du discriminant, et non du signe de $a$ pris isolément.

Answer

Il indique si la fonction décroît puis croît, ou croît puis décroît autour du sommet.

Question 8

8. Quelle distinction le discriminant établit-il entre une équation du second degré sans solution réelle et une équation qui possède une seule solution réelle ?

Un discriminant négatif donne deux solutions réelles, tandis qu’un discriminant positif donne une solution réelle unique.

Un discriminant nul indique l’absence de solution réelle, tandis qu’un discriminant négatif donne une solution réelle unique.

Un discriminant positif indique l’absence de solution réelle, tandis qu’un discriminant nul donne deux solutions réelles.

Un discriminant négatif indique l’absence de solution réelle, tandis qu’un discriminant nul donne une solution réelle unique.

Explication

Le signe du discriminant distingue ces deux cas : si $\Delta<0$ , il n’y a pas de racine réelle, tandis que si $\Delta=0$ , il existe une racine réelle unique. Un discriminant positif correspond plutôt à deux solutions réelles.

Answer

Un discriminant négatif indique l’absence de solution réelle, tandis qu’un discriminant nul donne une solution réelle unique.

Question 9

9. Pourquoi la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ permet-elle de lire directement les coordonnées du sommet d’un trinôme ?

Parce que le sommet a pour coordonnées

(\alpha;\beta)

.

Parce que le sommet a pour coordonnées

(-\alpha;\beta)

.

Parce que le sommet a pour coordonnées

(-\alpha;-\beta)

.

Parce que le sommet a pour coordonnées

(\alpha;-\beta)

.

Explication

Dans la forme canonique, le carré s’annule lorsque $x=\alpha$ , ce qui donne la valeur $\beta$ et donc le sommet $(\alpha;\beta)$ . Le signe moins dans le facteur $x-\alpha$ ne rend pas l’abscisse du sommet égale à $-\alpha$ .

Answer

Parce que le sommet a pour coordonnées $$(\alpha;\beta)$$.

QCM : Polynômes du second degré (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour le trinôme $g(x)=3x^2-2x+5$ , quelle expression donne son discriminant ?

2. Une équation du second degré a pour discriminant $\Delta=0$ et pour coefficients $a=2$ et $b=-8$ . Quelle est sa solution réelle ?

3. Pour $f(x)=2x^2+4x-3$ , quelles sont les coordonnées du sommet calculées à partir de $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$ ?

4. Un trinôme a pour sommet le point $(3;-2)$ et pour coefficient directeur du terme quadratique $a=4$ . Quelle est sa forme canonique ?

5. Lorsque $\Delta>0$ et que les racines d’un trinôme sont $x_1<x_2$ , que signifie la règle de signe du trinôme ?

6. Lors de la résolution d’une inéquation du second degré, quelle étape suit la détermination des racines ?

7. Quel rôle joue le signe du coefficient $a$ dans les variations de la fonction quadratique $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

8. Quelle distinction le discriminant établit-il entre une équation du second degré sans solution réelle et une équation qui possède une seule solution réelle ?

9. Pourquoi la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ permet-elle de lire directement les coordonnées du sommet d’un trinôme ?

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QCM : Polynômes du second degré (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour le trinôme g(x)=3x2−2x+5g(x)=3x^2-2x+5g(x)=3x2−2x+5, quelle expression donne son discriminant ?

2. Une équation du second degré a pour discriminant Δ=0\Delta=0Δ=0 et pour coefficients a=2a=2a=2 et b=−8b=-8b=−8. Quelle est sa solution réelle ?

3. Pour f(x)=2x2+4x−3f(x)=2x^2+4x-3f(x)=2x2+4x−3, quelles sont les coordonnées du sommet calculées à partir de α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a}α=−2ab​ et β=f(α)\beta=f(\alpha)β=f(α) ?

4. Un trinôme a pour sommet le point (3;−2)(3;-2)(3;−2) et pour coefficient directeur du terme quadratique a=4a=4a=4. Quelle est sa forme canonique ?

5. Lorsque Δ>0\Delta>0Δ>0 et que les racines d’un trinôme sont x1<x2x_1<x_2x1​<x2​, que signifie la règle de signe du trinôme ?

6. Lors de la résolution d’une inéquation du second degré, quelle étape suit la détermination des racines ?

7. Quel rôle joue le signe du coefficient aaa dans les variations de la fonction quadratique f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c ?

8. Quelle distinction le discriminant établit-il entre une équation du second degré sans solution réelle et une équation qui possède une seule solution réelle ?

9. Pourquoi la forme canonique a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\betaa(x−α)2+β permet-elle de lire directement les coordonnées du sommet d’un trinôme ?

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1. Pour le trinôme $g(x)=3x^2-2x+5$ , quelle expression donne son discriminant ?

2. Une équation du second degré a pour discriminant $\Delta=0$ et pour coefficients $a=2$ et $b=-8$ . Quelle est sa solution réelle ?

3. Pour $f(x)=2x^2+4x-3$ , quelles sont les coordonnées du sommet calculées à partir de $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$ ?

4. Un trinôme a pour sommet le point $(3;-2)$ et pour coefficient directeur du terme quadratique $a=4$ . Quelle est sa forme canonique ?

5. Lorsque $\Delta>0$ et que les racines d’un trinôme sont $x_1<x_2$ , que signifie la règle de signe du trinôme ?

7. Quel rôle joue le signe du coefficient $a$ dans les variations de la fonction quadratique $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

9. Pourquoi la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ permet-elle de lire directement les coordonnées du sommet d’un trinôme ?