QCM : Polynômes du second degré — 19 questions

Question 1

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré ?

f(x)=2x+7

f(x)=4x^3-x+1

f(x)=3x-2+5x^{-1}

f(x)=3x^2-2x+5

Explication

Une fonction polynôme du second degré s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ . L’expression affine ne contient pas de terme en $x^2$ , tandis que les deux autres ne sont pas du second degré.

Answer

$$f(x)=3x^2-2x+5$$

Question 2

2. Dans la forme développée $f(x)=7x^2-3x+4$ , quelle affirmation identifie correctement le coefficient dominant et le coefficient constant ?

Le coefficient dominant est

4

et le coefficient constant est

7

.

Le coefficient dominant est

7

et le coefficient constant est

-3

.

Le coefficient dominant est

7

et le coefficient constant est

4

.

Le coefficient dominant est

-3

et le coefficient constant est

4

.

Explication

Dans une forme développée, le coefficient dominant est celui de $x^2$ , ici $7$ , et le coefficient constant est le terme indépendant, ici $4=f(0)$ . Le nombre $-3$ est le coefficient de $x$ .

Answer

Le coefficient dominant est $$7$$ et le coefficient constant est $$4$$.

Question 3

3. Que signifie qu’un nombre $x_1$ est une racine de la fonction $f$ ?

Il vérifie

f(x_1)=0

.

Il vérifie

f(0)=x_1

.

Il représente la valeur de

f(x_1)

.

Il est le coefficient constant de

f

.

Explication

Une racine est une valeur de $x$ qui annule la fonction, donc elle satisfait $f(x_1)=0$ . L’égalité $f(0)=x_1$ correspond à une autre relation et ne définit pas une racine.

Answer

Il vérifie $$f(x_1)=0$$.

Question 4

4. Une fonction s’écrit $f(x)=2x^2+bx+c$ et admet la racine $x_1=3$ . Quelle forme factorisée partielle est garantie ?

f(x)=(x-3)(2x+d)

avec

d\in\mathbb{R}

f(x)=2(x-3)(x+d)

avec

d\in\mathbb{R}

f(x)=(x-3)(x+d)

avec

d\in\mathbb{R}

f(x)=(x+3)(2x+d)

avec

d\in\mathbb{R}

Explication

Lorsqu’une racine vaut $3$ , le facteur associé est $x-3$ , et le facteur restant conserve le coefficient dominant sous la forme $2x+d$ . Le signe $x+3$ correspondrait à la racine $-3$ , tandis que les autres écritures ne garantissent pas le coefficient dominant approprié.

Answer

$$f(x)=(x-3)(2x+d)$$ avec $$d\in\mathbb{R}$$

Question 5

5. Si une fonction du second degré de coefficient dominant $a$ possède deux racines $x_1$ et $x_2$ , quelle est sa forme factorisée ?

f(x)=(x-x_1)(x-x_2)

f(x)=a(x-x_1-x_2)

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

f(x)=a(x+x_1)(x+x_2)

Explication

Deux racines donnent les facteurs $x-x_1$ et $x-x_2$ , tandis que le coefficient dominant $a$ doit être conservé. Le simple produit des facteurs ne convient donc que dans le cas particulier où $a=1$ .

Answer

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Question 6

6. Pour $f(x)=2x^2-10x+12$ , quelle est la somme des deux racines ?

6

-5

5

-6

Explication

La somme des racines vaut $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ . Ici, $a=2$ et $b=-10$ , donc $x_1+x_2=-\frac{-10}{2}=5$ ; le nombre $6$ correspondrait au produit $\frac{c}{a}$ .

Answer

$$\frac{2}{3}$$

Answer

L’abscisse et l’ordonnée du sommet

Answer

Compléter le carré pour regrouper les termes quadratiques

Answer

$$\Delta=b^2-4ac$$

Answer

Elle n’a aucune solution réelle

Answer

Elle est unique et vaut $$x_0=-\frac{b}{2a}$$

Answer

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ et $$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$

Answer

On isole $$x^2$$ avant d’étudier le signe du nombre obtenu

Answer

Factoriser par $$x$$ puis appliquer la règle du produit nul

Answer

Identifier $$a,b,c$$, calculer $$\Delta$$, puis appliquer le cas adapté

Answer

Elle n’admet pas de forme factorisée réelle

Answer

$$f(x)=a(x-x_0)^2$$

Answer

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Question 7

7. Le polynôme $f(x)=3x^2-7x+2$ possède deux racines. Quel est leur produit ?

-\frac{7}{3}

\frac{2}{3}

\frac{3}{2}

\frac{7}{3}

Explication

Le produit des racines vérifie $x_1x_2=\frac{c}{a}$ . Ici, $c=2$ et $a=3$ , donc le produit vaut $\frac{2}{3}$ ; $-\frac{7}{3}$ représente la somme des racines.

Question 8

8. Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , que représentent $\alpha$ et $\beta$ ?

L’abscisse et l’ordonnée du sommet

L’ordonnée et l’abscisse du sommet

Les coefficients directeur et constant

Les deux racines de la fonction

Explication

Dans la forme canonique, $\alpha$ donne l’abscisse du sommet et $\beta=f(\alpha)$ son ordonnée. La confusion fréquente consiste à inverser le rôle de ces deux paramètres.

Question 9

9. Quelle transformation permet d’obtenir la forme canonique d’un trinôme du second degré ?

Factoriser le trinôme en deux facteurs linéaires

Compléter le carré pour regrouper les termes quadratiques

Remplacer directement

x

par l’abscisse du sommet

Calculer le discriminant avant de réduire les termes

Explication

La complétion du carré transforme $ax^2+bx+c$ en une expression de la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$ . La factorisation et le discriminant servent à d’autres méthodes de résolution.

Question 10

10. Quelle expression définit le discriminant de l’équation $ax^2+bx+c=0$ ?

\Delta=b^2+4ac

\Delta=b^2-4ac

\Delta=\frac{-b\pm\sqrt{a}}{2c}

\Delta=-\frac{b}{2a}

Explication

Le discriminant est calculé par $\Delta=b^2-4ac$ à partir des coefficients de l’équation. L’expression $-\frac{b}{2a}$ correspond à l’abscisse du sommet, et non au discriminant.

Question 11

11. Que peut-on conclure pour l’équation $ax^2+bx+c=0$ lorsque $\Delta<0$ ?

Elle n’a aucune solution réelle

Elle possède deux solutions réelles distinctes

Elle possède une solution réelle égale à zéro

Elle possède une solution réelle double

Explication

Un discriminant négatif indique qu’aucune solution réelle n’existe pour l’équation. Une solution double correspond au cas $\Delta=0$ , tandis que deux solutions distinctes correspondent à $\Delta>0$ .

Question 12

12. Lorsque $\Delta=0$ , quelle caractéristique possède la solution réelle de $ax^2+bx+c=0$ ?

Elle est unique et vaut

x_0=-\frac{b}{2a}

Elle n’existe pas dans l’ensemble des réels

Elle consiste en deux valeurs distinctes calculées avec

\sqrt{\Delta}

Elle est unique et vaut

x_0=\frac{b}{2a}

Explication

Lorsque $\Delta=0$ , les deux racines se confondent en une solution réelle double, $x_0=-\frac{b}{2a}$ . Le signe positif devant $b$ modifierait incorrectement la formule de la racine.

Question 13

13. Pour $\Delta>0$ , quelles formules donnent les deux solutions réelles distinctes de $ax^2+bx+c=0$ ?

x_1=\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}

et

x_2=\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}

x_1=\frac{-b-\Delta}{2a}

et

x_2=\frac{-b+\Delta}{2a}

x_1=\frac{-b-\sqrt{a}}{2\Delta}

et

x_2=\frac{-b+\sqrt{a}}{2\Delta}

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

et

x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Explication

Pour un discriminant positif, les deux racines s’obtiennent en utilisant $-b\pm\sqrt{\Delta}$ au numérateur et $2a$ au dénominateur. Remplacer la racine de $\Delta$ par $\Delta$ ou modifier le dénominateur donne des expressions incorrectes.

Question 14

14. Comment commence-t-on généralement la résolution de $ax^2+c=0$ lorsque $b=0$ ?

On isole

x^2

avant d’étudier le signe du nombre obtenu

On remplace

x^2

par

x

afin de réduire le degré

On factorise par

x

avant d’appliquer le produit nul

On calcule deux racines avec la formule contenant

\sqrt{\Delta}

Explication

Quand $b=0$ , on isole $x^2$ , puis on détermine le nombre de solutions selon le signe de la valeur obtenue. La factorisation par $x$ est la méthode caractéristique du cas $c=0$ .

Question 15

15. Quelle méthode convient à l’équation $ax^2+bx=0$ lorsque $c=0$ ?

Isoler

x^2

puis comparer sa valeur à zéro

Calculer la valeur de

\beta

sans transformer l’équation

Factoriser par

x

puis appliquer la règle du produit nul

Compléter le carré avant de calculer le sommet

Explication

Avec $c=0$ , l’équation s’écrit $x(ax+b)=0$ , ce qui permet d’appliquer la règle du produit nul. L’isolation de $x^2$ correspond plutôt au cas où $b=0$ .

Question 16

16. Dans quel ordre résout-on une équation générale $ax^2+bx+c=0$ par la méthode du discriminant ?

Identifier

a,b,c

, calculer

\Delta

, puis appliquer le cas adapté

Isoler

x^2

, déterminer le sommet, puis développer l’équation

Factoriser par

x

, calculer

\beta

, puis comparer les racines

Calculer les racines, identifier

a,b,c

, puis choisir le signe de

\Delta

Explication

La méthode générale consiste d’abord à repérer les coefficients, puis à calculer $\Delta=b^2-4ac$ et à utiliser le cas correspondant à son signe. Les autres démarches mélangent des étapes ou des méthodes réservées aux cas particuliers.

Question 17

17. Que peut-on conclure sur la forme factorisée réelle d’une fonction polynôme du second degré lorsque son discriminant vérifie $\Delta<0$ ?

Elle n’admet pas de forme factorisée réelle

Elle s’écrit avec une racine double réelle

Elle possède deux facteurs linéaires réels distincts

Elle se réduit à un produit de deux facteurs égaux

Explication

Lorsque $\Delta<0$ , le polynôme ne possède pas de racine réelle et n’admet donc pas de forme factorisée réelle. La présence d’une racine double correspond au cas $\Delta=0$ , et non à ce cas.

Question 18

18. Pour une fonction polynôme du second degré telle que $\Delta=0$ , quelle forme factorisée utilise sa racine réelle double $x_0$ ?

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

avec

x_1\ne x_2

f(x)=a(x+x_0)^2

f(x)=a(x-x_0)(x+x_0)

f(x)=a(x-x_0)^2

Explication

Quand $\Delta=0$ , la fonction possède une unique racine réelle double $x_0$ et s’écrit comme un carré parfait. L’expression avec deux racines distinctes correspond au cas $\Delta>0$ .

Question 19

19. Une fonction polynôme du second degré possède deux racines réelles distinctes $x_1$ et $x_2$ . Quelle forme factorisée lui correspond ?

f(x)=a(x-x_2)^2

f(x)=a(x+x_1)(x+x_2)

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

f(x)=a(x-x_1)^2

Explication

Deux racines réelles distinctes correspondent à $\Delta>0$ , ce qui donne la factorisation $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ . Une écriture avec un carré représenterait une racine double, donc le cas $\Delta=0$ .

QCM : Polynômes du second degré — 19 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré ?

2. Dans la forme développée $f(x)=7x^2-3x+4$ , quelle affirmation identifie correctement le coefficient dominant et le coefficient constant ?

3. Que signifie qu’un nombre $x_1$ est une racine de la fonction $f$ ?

4. Une fonction s’écrit $f(x)=2x^2+bx+c$ et admet la racine $x_1=3$ . Quelle forme factorisée partielle est garantie ?

5. Si une fonction du second degré de coefficient dominant $a$ possède deux racines $x_1$ et $x_2$ , quelle est sa forme factorisée ?

6. Pour $f(x)=2x^2-10x+12$ , quelle est la somme des deux racines ?

7. Le polynôme $f(x)=3x^2-7x+2$ possède deux racines. Quel est leur produit ?

8. Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , que représentent $\alpha$ et $\beta$ ?

9. Quelle transformation permet d’obtenir la forme canonique d’un trinôme du second degré ?

10. Quelle expression définit le discriminant de l’équation $ax^2+bx+c=0$ ?

11. Que peut-on conclure pour l’équation $ax^2+bx+c=0$ lorsque $\Delta<0$ ?

12. Lorsque $\Delta=0$ , quelle caractéristique possède la solution réelle de $ax^2+bx+c=0$ ?

13. Pour $\Delta>0$ , quelles formules donnent les deux solutions réelles distinctes de $ax^2+bx+c=0$ ?

14. Comment commence-t-on généralement la résolution de $ax^2+c=0$ lorsque $b=0$ ?

15. Quelle méthode convient à l’équation $ax^2+bx=0$ lorsque $c=0$ ?

16. Dans quel ordre résout-on une équation générale $ax^2+bx+c=0$ par la méthode du discriminant ?

17. Que peut-on conclure sur la forme factorisée réelle d’une fonction polynôme du second degré lorsque son discriminant vérifie $\Delta<0$ ?

18. Pour une fonction polynôme du second degré telle que $\Delta=0$ , quelle forme factorisée utilise sa racine réelle double $x_0$ ?

19. Une fonction polynôme du second degré possède deux racines réelles distinctes $x_1$ et $x_2$ . Quelle forme factorisée lui correspond ?

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QCM : Polynômes du second degré — 19 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré ?

2. Dans la forme développée f(x)=7x2−3x+4f(x)=7x^2-3x+4f(x)=7x2−3x+4, quelle affirmation identifie correctement le coefficient dominant et le coefficient constant ?

3. Que signifie qu’un nombre x1x_1x1​ est une racine de la fonction fff ?

4. Une fonction s’écrit f(x)=2x2+bx+cf(x)=2x^2+bx+cf(x)=2x2+bx+c et admet la racine x1=3x_1=3x1​=3. Quelle forme factorisée partielle est garantie ?

5. Si une fonction du second degré de coefficient dominant aaa possède deux racines x1x_1x1​ et x2x_2x2​, quelle est sa forme factorisée ?

6. Pour f(x)=2x2−10x+12f(x)=2x^2-10x+12f(x)=2x2−10x+12, quelle est la somme des deux racines ?

7. Le polynôme f(x)=3x2−7x+2f(x)=3x^2-7x+2f(x)=3x2−7x+2 possède deux racines. Quel est leur produit ?

8. Dans la forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β, que représentent α\alphaα et β\betaβ ?

9. Quelle transformation permet d’obtenir la forme canonique d’un trinôme du second degré ?

10. Quelle expression définit le discriminant de l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 ?

11. Que peut-on conclure pour l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 lorsque Δ<0\Delta<0Δ<0 ?

12. Lorsque Δ=0\Delta=0Δ=0, quelle caractéristique possède la solution réelle de ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 ?

13. Pour Δ>0\Delta>0Δ>0, quelles formules donnent les deux solutions réelles distinctes de ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 ?

14. Comment commence-t-on généralement la résolution de ax2+c=0ax^2+c=0ax2+c=0 lorsque b=0b=0b=0 ?

15. Quelle méthode convient à l’équation ax2+bx=0ax^2+bx=0ax2+bx=0 lorsque c=0c=0c=0 ?

16. Dans quel ordre résout-on une équation générale ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 par la méthode du discriminant ?

17. Que peut-on conclure sur la forme factorisée réelle d’une fonction polynôme du second degré lorsque son discriminant vérifie Δ<0\Delta<0Δ<0 ?

18. Pour une fonction polynôme du second degré telle que Δ=0\Delta=0Δ=0, quelle forme factorisée utilise sa racine réelle double x0x_0x0​ ?

19. Une fonction polynôme du second degré possède deux racines réelles distinctes x1x_1x1​ et x2x_2x2​. Quelle forme factorisée lui correspond ?

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2. Dans la forme développée $f(x)=7x^2-3x+4$ , quelle affirmation identifie correctement le coefficient dominant et le coefficient constant ?

3. Que signifie qu’un nombre $x_1$ est une racine de la fonction $f$ ?

4. Une fonction s’écrit $f(x)=2x^2+bx+c$ et admet la racine $x_1=3$ . Quelle forme factorisée partielle est garantie ?

5. Si une fonction du second degré de coefficient dominant $a$ possède deux racines $x_1$ et $x_2$ , quelle est sa forme factorisée ?

6. Pour $f(x)=2x^2-10x+12$ , quelle est la somme des deux racines ?

7. Le polynôme $f(x)=3x^2-7x+2$ possède deux racines. Quel est leur produit ?

8. Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , que représentent $\alpha$ et $\beta$ ?

10. Quelle expression définit le discriminant de l’équation $ax^2+bx+c=0$ ?

11. Que peut-on conclure pour l’équation $ax^2+bx+c=0$ lorsque $\Delta<0$ ?

12. Lorsque $\Delta=0$ , quelle caractéristique possède la solution réelle de $ax^2+bx+c=0$ ?

13. Pour $\Delta>0$ , quelles formules donnent les deux solutions réelles distinctes de $ax^2+bx+c=0$ ?

14. Comment commence-t-on généralement la résolution de $ax^2+c=0$ lorsque $b=0$ ?

15. Quelle méthode convient à l’équation $ax^2+bx=0$ lorsque $c=0$ ?

16. Dans quel ordre résout-on une équation générale $ax^2+bx+c=0$ par la méthode du discriminant ?

17. Que peut-on conclure sur la forme factorisée réelle d’une fonction polynôme du second degré lorsque son discriminant vérifie $\Delta<0$ ?

18. Pour une fonction polynôme du second degré telle que $\Delta=0$ , quelle forme factorisée utilise sa racine réelle double $x_0$ ?

19. Une fonction polynôme du second degré possède deux racines réelles distinctes $x_1$ et $x_2$ . Quelle forme factorisée lui correspond ?