Fiche de révision : Polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Fonction polynôme du second degré
2. Racines et forme factorisée
3. Somme et produit des racines
4. Forme canonique et sommet
5. Discriminant et résolution générale
6. Cas particuliers de résolution
7. Forme factorisée selon Δ

📖 1. Fonction polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par f(x)=ax²+bx+c, où a, b et c sont réels et a≠0.

📝 Points essentiels

📌 Dans la forme développée f(x)=ax²+bx+c, a est le coefficient dominant et c le coefficient constant, avec f(0)=c.

• L’écriture d’une fonction polynôme du second degré sous la forme f(x)=ax²+bx+c est unique.

📖 2. Racines et forme factorisée

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’une fonction : Nombre x₁ tel que f(x₁)=0, c’est-à-dire une solution de l’équation f(x)=0.

★ À maîtriser

📌 Si x₁ est une racine de f(x)=ax²+bx+c, alors f peut s’écrire f(x)=(x−x₁)(ax+d), avec d réel.

📐 Formule — Si f admet deux racines x₁ et x₂, sa forme factorisée est $f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)$.

Compléments

• Un polynôme du second degré possède au plus deux racines et peut ne posséder aucune racine réelle, comme g(x)=x²+1.

💡 Astuce mémo

Racine : f(x)=0 ; forme factorisée : produit des facteurs associés aux racines.

📖 3. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Si f(x)=ax²+bx+c possède deux racines x₁ et x₂, leur somme vérifie $x₁+x₂=-\frac{b}{a}$.

📐 Formule — Si f(x)=ax²+bx+c possède deux racines x₁ et x₂, leur produit vérifie $x₁x₂=\frac{c}{a}$.

Compléments

• Lorsqu’une racine évidente x₁ est connue, l’autre racine x₂ se détermine avec la somme x₁+x₂=−b/a ou le produit x₁x₂=c/a.

💡 Astuce mémo

S = Somme = −b/a ; P = Produit = c/a.

📖 4. Forme canonique et sommet

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : La forme canonique d’une fonction f(x)=ax²+bx+c est f(x)=a(x−α)²+β, avec $α=-\frac{b}{2a}$ et β=f(α).

★ À maîtriser

• Pour obtenir la forme canonique, on complète le carré afin de transformer ax²+bx+c en a(x−α)²+β.

Compléments

📐 Formule — Pour f(x)=ax²+bx+c, l’ordonnée canonique vérifie $β=-\frac{Δ}{4a}$, où $Δ=b²-4ac$.

💡 Astuce mémo

La parabole se recentre autour de x = α et atteint la valeur β.

📖 5. Discriminant et résolution générale

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Nombre $Δ=b²-4ac$.

📝 Points essentiels

📌 Si Δ<0, l’équation ax²+bx+c=0 n’admet aucune solution réelle.

📌 Si Δ=0, l’équation ax²+bx+c=0 admet une unique solution réelle double $x₀=-\frac{b}{2a}$.

📐 Formule — Si Δ>0, l’équation ax²+bx+c=0 admet deux solutions distinctes $x₁=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}$ et $x₂=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : aucune racine ; Δ=0 : une racine double ; Δ>0 : deux racines.

📖 6. Cas particuliers de résolution

📝 Points essentiels

📌 Lorsque b=0, l’équation ax²+c=0 se résout en isolant x² puis en utilisant le nombre de solutions de X²=k selon le signe de k.

📌 Lorsque c=0, l’équation ax²+bx=0 se résout en factorisant x, puis en appliquant la règle du produit nul.

• Pour résoudre une équation générale ax²+bx+c=0, on identifie a, b et c, on calcule Δ, puis on applique le cas correspondant au signe de Δ.

💡 Astuce mémo

b=0 → isoler x² ; c=0 → factoriser par x.

📖 7. Forme factorisée selon Δ

📝 Points essentiels

📌 Si Δ<0, la fonction polynôme du second degré n’admet pas de forme factorisée réelle.

📐 Formule — Si Δ=0, la fonction s’écrit $f(x)=a(x-x₀)²$, où x₀ est son unique racine double.

📐 Formule — Si Δ>0, la fonction s’écrit $f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)$, où x₁ et x₂ sont ses deux racines distinctes.

💡 Astuce mémo

Le signe de Δ → le nombre de racines → la forme factorisée.

📊 Tableaux de synthèse

Signe du discriminant et solutions