QCM : Probabilités conditionnelles (9 questions)

Question 1

1. Dans une enquête, $P(A)=0{,}4$ et $P(A\cap B)=0{,}12$ . Quelle est la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé ?

\frac{1}{3}

0{,}28

0{,}48

0{,}3

Explication

La probabilité conditionnelle se calcule par $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ , donc $0{,}12\div0{,}4=0{,}3$ . La valeur $\frac{1}{3}$ inverse le rapport, $0{,}28$ soustrait les probabilités et $0{,}48$ les multiplie.

Answer

$$\frac{50}{105}\approx0{,}476$$

Answer

$$0{,}18$$

Answer

Les probabilités des événements au premier niveau, puis les probabilités conditionnelles au second

Answer

$$0{,}63$$

Answer

$$0{,}28$$

Answer

$$0{,}24$$

Answer

$$0{,}50$$

Answer

$$0{,}6 \times 0{,}5 + 0{,}4 \times 0{,}8$$

Question 2

2. Dans un groupe, 105 élèves préfèrent TikTok, dont 50 filles. Quelle est la probabilité qu’un élève choisi parmi ceux qui préfèrent TikTok soit une fille ?

\frac{105}{50}=2{,}1

\frac{50}{105}\approx0{,}476

\frac{50}{200}=0{,}25

\frac{55}{105}\approx0{,}524

Explication

Parmi les 105 élèves qui préfèrent TikTok, 50 sont des filles : la probabilité cherchée est donc $\frac{50}{105}\approx0{,}476$ . Le dénominateur 200 correspond au groupe entier, le rapport $\frac{105}{50}$ est inversé et 55 compte les garçons concernés.

Question 3

3. On sait que $P(A)=0{,}3$ et que $P_A(B)=0{,}6$ . Quelle est la probabilité de l’intersection $A\cap B$ ?

0{,}9

0{,}6

0{,}18

0{,}42

Explication

La formule est $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$ , d’où $0{,}3\times0{,}6=0{,}18$ . La valeur 0,6 confond probabilité conditionnelle et intersection, tandis que 0,42 et 0,9 proviennent d’une soustraction ou d’une addition.

Question 4

4. Pour modéliser le choix d’un billet puis son éventuel gain, quelle information faut-il inscrire sur les branches du premier niveau et sur celles du second niveau de l’arbre ?

Les probabilités des événements au premier niveau, puis les probabilités conditionnelles au second

Les probabilités des événements au premier niveau, puis les probabilités des intersections au second

Les probabilités des intersections au premier niveau, puis les probabilités des événements au second

Les probabilités conditionnelles au premier niveau, puis les probabilités des événements au second

Explication

Le premier niveau décrit les probabilités des événements initiaux, tandis que le second indique les probabilités conditionnelles après chaque événement initial. Inverser les niveaux confond leur rôle, et placer les intersections ou les probabilités initiales au second niveau ne correspond pas à la construction de l’arbre.

Question 5

5. À un nœud d’un arbre, deux branches issues de ce nœud portent respectivement les probabilités $0{,}37$ et $p$ . Quelle valeur doit avoir $p$ pour que l’arbre soit cohérent ?

1{,}37

0{,}63

0{,}37

0{,}2331

Explication

Les probabilités de branches issues d’un même nœud ont pour somme $1$ , donc $p=1-0{,}37=0{,}63$ . Choisir $0{,}37$ répète la première probabilité, $1{,}37$ ne respecte pas la somme attendue et $0{,}2331$ provient d’un produit.

Question 6

6. Dans un arbre, un chemin correspond à l’événement $A$ puis à l’événement $B$ sachant $A$ , avec des probabilités inscrites de $0{,}4$ puis $0{,}7$ . Quelle est la probabilité de l’intersection rencontrée sur ce chemin ?

0{,}30

0{,}28

0{,}70

1{,}10

Explication

La loi des chemins donne la probabilité de l’intersection en multipliant les probabilités inscrites sur le chemin : $0{,}4\times0{,}7=0{,}28$ . $1{,}10$ additionne les branches, $0{,}30$ résulte d’une soustraction et $0{,}70$ oublie la première branche.

Question 7

7. Dans une situation analogue à celle des graines, la probabilité qu’une graine soit bleue est $0{,}3$ et la probabilité qu’elle germe sachant qu’elle est bleue est $0{,}8$ . Quelle est la probabilité qu’elle soit bleue et qu’elle germe ?

0{,}06

0{,}24

1{,}10

0{,}50

Explication

La probabilité de l’intersection est le produit de la probabilité de l’événement initial et de la probabilité conditionnelle : $0{,}3\times0{,}8=0{,}24$ . $1{,}10$ correspond à une addition, $0{,}06$ à un produit avec le complément $0{,}2$ et $0{,}50$ à une addition des deux facteurs.

Question 8

8. Dans un arbre, un événement est atteint par deux chemins disjoints de probabilités respectives $0{,}18$ et $0{,}32$ . Quelle est la probabilité de cet événement ?

0{,}0576

-0{,}14

0{,}32

0{,}50

Explication

La probabilité de l’événement est la somme des probabilités des chemins qui y conduisent : $0{,}18 + 0{,}32 = 0{,}50$ . Le produit $0{,}0576$ confond la somme des chemins avec la règle du produit sur un chemin, tandis que $0{,}32$ omet un chemin et $-0{,}14$ correspond à une soustraction injustifiée.

Question 9

9. Dans un lot de graines, $60\%$ sont roses et $40\%$ jaunes ; la probabilité qu’une graine rose germe est de $0{,}5$ et celle qu’une graine jaune germe est de $0{,}8$ . Quelle somme de probabilités de chemins donne la probabilité qu’une graine germe ?

0{,}5 + 0{,}8

0{,}6 \times 0{,}5 + 0{,}4 \times 0{,}2

0{,}6 \times 0{,}5

0{,}6 \times 0{,}5 + 0{,}4 \times 0{,}8

Explication

L’événement « la graine germe » est atteint par le chemin « rose et germe » et le chemin « jaune et germe » ; leurs probabilités se calculent par produit le long de chaque chemin, puis s’additionnent. La somme $0{,}5 + 0{,}8$ oublie la pondération des couleurs, le terme $0{,}4 \times 0{,}2$ concerne les graines jaunes qui ne germent pas, et la dernière expression omet le chemin jaune.

QCM : Probabilités conditionnelles (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans une enquête, $P(A)=0{,}4$ et $P(A\cap B)=0{,}12$ . Quelle est la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé ?

2. Dans un groupe, 105 élèves préfèrent TikTok, dont 50 filles. Quelle est la probabilité qu’un élève choisi parmi ceux qui préfèrent TikTok soit une fille ?

3. On sait que $P(A)=0{,}3$ et que $P_A(B)=0{,}6$ . Quelle est la probabilité de l’intersection $A\cap B$ ?

4. Pour modéliser le choix d’un billet puis son éventuel gain, quelle information faut-il inscrire sur les branches du premier niveau et sur celles du second niveau de l’arbre ?

5. À un nœud d’un arbre, deux branches issues de ce nœud portent respectivement les probabilités $0{,}37$ et $p$ . Quelle valeur doit avoir $p$ pour que l’arbre soit cohérent ?

6. Dans un arbre, un chemin correspond à l’événement $A$ puis à l’événement $B$ sachant $A$ , avec des probabilités inscrites de $0{,}4$ puis $0{,}7$ . Quelle est la probabilité de l’intersection rencontrée sur ce chemin ?

7. Dans une situation analogue à celle des graines, la probabilité qu’une graine soit bleue est $0{,}3$ et la probabilité qu’elle germe sachant qu’elle est bleue est $0{,}8$ . Quelle est la probabilité qu’elle soit bleue et qu’elle germe ?

8. Dans un arbre, un événement est atteint par deux chemins disjoints de probabilités respectives $0{,}18$ et $0{,}32$ . Quelle est la probabilité de cet événement ?

9. Dans un lot de graines, $60\%$ sont roses et $40\%$ jaunes ; la probabilité qu’une graine rose germe est de $0{,}5$ et celle qu’une graine jaune germe est de $0{,}8$ . Quelle somme de probabilités de chemins donne la probabilité qu’une graine germe ?

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QCM : Probabilités conditionnelles (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans une enquête, P(A)=0,4P(A)=0{,}4P(A)=0,4 et P(A∩B)=0,12P(A\cap B)=0{,}12P(A∩B)=0,12. Quelle est la probabilité de BBB sachant que AAA est réalisé ?

2. Dans un groupe, 105 élèves préfèrent TikTok, dont 50 filles. Quelle est la probabilité qu’un élève choisi parmi ceux qui préfèrent TikTok soit une fille ?

3. On sait que P(A)=0,3P(A)=0{,}3P(A)=0,3 et que PA(B)=0,6P_A(B)=0{,}6PA​(B)=0,6. Quelle est la probabilité de l’intersection A∩BA\cap BA∩B ?

4. Pour modéliser le choix d’un billet puis son éventuel gain, quelle information faut-il inscrire sur les branches du premier niveau et sur celles du second niveau de l’arbre ?

5. À un nœud d’un arbre, deux branches issues de ce nœud portent respectivement les probabilités 0,370{,}370,37 et ppp. Quelle valeur doit avoir ppp pour que l’arbre soit cohérent ?

6. Dans un arbre, un chemin correspond à l’événement AAA puis à l’événement BBB sachant AAA, avec des probabilités inscrites de 0,40{,}40,4 puis 0,70{,}70,7. Quelle est la probabilité de l’intersection rencontrée sur ce chemin ?

7. Dans une situation analogue à celle des graines, la probabilité qu’une graine soit bleue est 0,30{,}30,3 et la probabilité qu’elle germe sachant qu’elle est bleue est 0,80{,}80,8. Quelle est la probabilité qu’elle soit bleue et qu’elle germe ?

8. Dans un arbre, un événement est atteint par deux chemins disjoints de probabilités respectives 0,180{,}180,18 et 0,320{,}320,32. Quelle est la probabilité de cet événement ?

9. Dans un lot de graines, 60%60\%60% sont roses et 40%40\%40% jaunes ; la probabilité qu’une graine rose germe est de 0,50{,}50,5 et celle qu’une graine jaune germe est de 0,80{,}80,8. Quelle somme de probabilités de chemins donne la probabilité qu’une graine germe ?

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1. Dans une enquête, $P(A)=0{,}4$ et $P(A\cap B)=0{,}12$ . Quelle est la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé ?

3. On sait que $P(A)=0{,}3$ et que $P_A(B)=0{,}6$ . Quelle est la probabilité de l’intersection $A\cap B$ ?

5. À un nœud d’un arbre, deux branches issues de ce nœud portent respectivement les probabilités $0{,}37$ et $p$ . Quelle valeur doit avoir $p$ pour que l’arbre soit cohérent ?

6. Dans un arbre, un chemin correspond à l’événement $A$ puis à l’événement $B$ sachant $A$ , avec des probabilités inscrites de $0{,}4$ puis $0{,}7$ . Quelle est la probabilité de l’intersection rencontrée sur ce chemin ?

7. Dans une situation analogue à celle des graines, la probabilité qu’une graine soit bleue est $0{,}3$ et la probabilité qu’elle germe sachant qu’elle est bleue est $0{,}8$ . Quelle est la probabilité qu’elle soit bleue et qu’elle germe ?

8. Dans un arbre, un événement est atteint par deux chemins disjoints de probabilités respectives $0{,}18$ et $0{,}32$ . Quelle est la probabilité de cet événement ?

9. Dans un lot de graines, $60\%$ sont roses et $40\%$ jaunes ; la probabilité qu’une graine rose germe est de $0{,}5$ et celle qu’une graine jaune germe est de $0{,}8$ . Quelle somme de probabilités de chemins donne la probabilité qu’une graine germe ?