Fiche de révision : Probabilités conditionnelles et indépendance

📋 Plan du Cours

1. Situation de vaccination
2. Arbre et tableau probabilistes
3. Probabilités conditionnelles
4. Complément et réunion d’événements
5. Événements indépendants

📖 1. Situation de vaccination

★ À maîtriser

• Dans un lycée de 1000 élèves, 35 % sont vaccinés contre la grippe, 2 % des vaccinés ont eu la grippe et 10 % des non-vaccinés ont eu la grippe.

Compléments

• Parmi les 350 élèves vaccinés, 7 ont eu la grippe et 343 ne l’ont pas eue ; parmi les 650 non-vaccinés, 65 ont eu la grippe et 585 ne l’ont pas eue.

📖 2. Arbre et tableau probabilistes

★ À maîtriser

• Un arbre de probabilité représente d’abord le choix entre V et V̄, puis les issues G et Ḡ conditionnellement à chacun de ces événements.

Compléments

• Le tableau à double entrée de la situation de vaccination totalise 1000 élèves, dont 72 ont eu la grippe et 928 ne l’ont pas eue.

💡 Astuce mémo

Visualiser les branches V et V̄, puis G et Ḡ.

📖 3. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Probabilité de A lorsque B est réalisé.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour la situation de vaccination, la probabilité d’avoir la grippe est $P(G)=P(V\cap G)+P(\overline{V}\cap G)=0{,}35\times0{,}02+0{,}65\times0{,}10=0{,}072=72\,\%$.

• La probabilité qu’un élève n’ait pas eu la grippe sachant qu’il n’était pas vacciné est P(Ḡ|V̄)=0,90.

💡 Astuce mémo

P(G|V) décrit la grippe chez les vaccinés, tandis que P(G|V̄) la décrit chez les non-vaccinés.

📖 4. Complément et réunion d’événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Événement contraire : Événement qui se réalise lorsque le premier ne se réalise pas.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une veste, l’événement D « avoir au moins un défaut » est le contraire de A « n’avoir aucun défaut », donc $P(D)=1-P(A)=1-0{,}9=0{,}1$.

📌 Pour les défauts d’une veste, l’événement « avoir les deux défauts » correspond à R∩T, tandis que « avoir au moins un défaut » correspond à R∪T, c’est-à-dire au contraire de A.

Compléments

• La probabilité d’un défaut de résistance au déchirement est 0,05, celle d’un défaut d’isolation thermique est 0,0002 et celle de n’avoir aucun défaut est 0,9.

💡 Astuce mémo

Au moins un défaut = complément de l’absence totale de défaut.

📖 5. Événements indépendants

🔑 Notions clés & Définitions

• Événements indépendants : Les événements A et B sont indépendants si et seulement si P(A∩B)=P(A)P(B).

📝 Points essentiels

• Dans un jeu classique de 32 cartes, l’événement A « tirer un roi » a pour probabilité 4/32 et l’événement B « tirer un trèfle » a pour probabilité 8/32=1/4.