Fiche de révision : Probabilités conditionnelles et indépendance

📋 Plan du Cours

1. Probabilité conditionnelle
2. Arbres de probabilités
3. Partition et probabilités totales
4. Application à la vaccination

📖 1. Probabilité conditionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle de A sachant B, lorsque $P(B)>0$, est $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux événements A et B de probabilités non nulles, $P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)=P(A)\times P_A(B)$.

Compléments

• La probabilité conditionnelle $P_B$ définit une nouvelle loi de probabilité sur Ω.

• Pour tout événement A, $0\leq P_B(A)\leq1$ et $P_B(\overline{A})=1-P_B(A)$ lorsque la probabilité conditionnelle sachant B est définie.

• La probabilité conditionnelle de B sachant B vaut $P_B(B)=1$.

• Si A et B sont incompatibles et $P(B)>0$, alors $P_B(A)=0$.

📖 2. Arbres de probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre de probabilités : Schéma qui représente une situation faisant intervenir des probabilités conditionnelles ou une expérience aléatoire décomposée en plusieurs épreuves.

📝 Points essentiels

• La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut $1$.

📌 Dans un arbre de probabilités, les branches du premier niveau portent les probabilités des événements correspondants, tandis que les branches du dernier niveau portent les probabilités conditionnelles.

📌 La probabilité d’un chemin dans un arbre est le produit des probabilités des branches qui le composent.

📖 3. Partition et probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition de Ω : Événements deux à deux incompatibles dont la réunion est Ω, avec $n\geq2$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si $A_1,\ldots,A_n$ forment une partition de Ω, alors, pour tout événement B, $P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i\cap B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)\times P_{A_i}(B)$.

📖 4. Application à la vaccination

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple, 70 % des habitants sont vaccinés, 5 % des vaccinés sont malades et 60 % des non-vaccinés sont malades.

• Avec V l’événement « être vacciné » et M l’événement « être malade », la partition $\{V,\overline V\}$ donne $P(M)=0{,}7\times0{,}05+0{,}3\times0{,}6=0{,}215$.